Chuyển động tròn đều và dao động điện từ

CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ ( PHẦN 1, 2)

I. Kiến thức cơ bản

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay  biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.

Nói cách khác: Khi véc tơ \(\overrightarrow{OM}\) quay đều với tốc độ góc ω quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số góc đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc \(\widehat{xOM}\)  ở thời điểm t=0.

* Một số hệ quả:

- Nếu biểu diễn dao động điều hòa x=A.cos(ωt+φ) bằng véc tơ quay thì thì φ= \(\widehat{xOM}\) là góc pha ban đầu của dao động với lưu ý:

+ Tại t=0, v₀ ở trên Ox =>φ>0; v₀>0 thì \(\overrightarrow{OM}\) ở dưới Ox => φ<0.

+ Thời gian vật dao động điều hòa đi từ vị trí (x₁; v₁) đến vị trí (x₂; v₂) bằng thời gian \(\overrightarrow{OM}\) quay đều được góc ∆φ= \(\widehat{M_{1}OM_{2}}\)với tốc độ góc ω: Δφ=ω.Δt => Δt=Δφ /ω.

+ Nếu biết góc quay của \(\overrightarrow{OM}\) trong thời gian Δt tính từ thời điểm đầu t=0 ta có thể tìm được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần vật qua vị trí x trong thời gian t₀ hoặc tính được quãng đường vật dao động diều hòa đi được trong thời gian Δt.

+ Phương pháp biểu diễn dao động điều hòa có thể áp dụng đối với sóng cơ học, sóng điện từ và dao động điệu từ trong mạch RLC vì các đại lượng có chung một đặc tính là biến thiên điều hòa.

II. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Tại thời điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện. Sau khoảng thời gian ngắn nhất Dt = 10^-6s thì điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại. Tính chu kì dao động riêng của mạch.

Hướng dẫn

Ở thời điểm đầu (t = 0), điện tích trên một bản tụ là: q₁ = q_o

Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ điện là: q₂ = \(\frac{q_{0}}{2}\). Từ hình vẽta có : Ta có: ∆j =rad

=>∆t= \(\frac{\pi }{3}rad\)

\(\Rightarrow \Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{\pi }{3}.\frac{T}{2\pi }=\frac{T}{6}\)

Vậy, chu kì dao động riêng của mạch là: T = 6∆t = 6.10^-6s

Ví dụ 2: Một mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Điện tích trên một bản tụ điện có biểu thức: q = q_ocos(10⁶πt-\(\frac{\pi }{2})\)(C). Kể từ thời điểm ban đầu (t = 0), sau một khoảng thời gian ngắn nhất là bao lâu thì năng lượng điện trường trên tụ điện bằng ba lần năng lượng từ trường ở cuộn cảm?

Hướng dẫn

Ở thời điểm ban đầu t = 0, điện tích trên một bản tụ là q₁ = 0.

Sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất ∆t thì W_L =\(\frac{1}{3}\) W_C.

=> W = \(\frac{1}{3}\) W_C + W_C = \(\frac{4}{3}\)W_C \(\Leftrightarrow \frac{{q_{0}}^{2}}{2C}=\frac{4}{3}.\frac{{q_{2}}^{2}}{2C}\Rightarrow q_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}q_{0}\) hoặc q₂ = - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)q_o . Ta biểu diễn dao động của q ở các thời điểm như hình vẽ.

Ta có: \(\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }\)  với ∆φ= \(\frac{\pi }{2}-\alpha\); mà: cosa = \(\frac{q_{2}}{q_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

=> a= \(\frac{\pi }{6}\)=>∆φ =.\(\frac{\pi }{3}\) Vậy: \(\Delta t=\frac{\Delta \varphi }{\omega }=\frac{\pi }{3.10^{6}\pi }=\frac{1-^{-6}}{3}s\)

Ví dụ 3: Một mạch dao dộng LC lí tưởng có chu kì dao động là T. Tại một thời điểm điện tích trên tụ điện bằng 6.10^-7C, sau đó một khoảng thời gian ∆t = 3T/4 cường độ dòng điện trong mạch bằng 1,2p.10^-3A. Tìm chu kì T.

Hướng dẫn

Giả sử ở thời điểm ban đầu t₁, điện tích trên tụ điện có giá trị q₁. Ở thời điểm t₂, sau đó một khoảng thời gian ∆t = \(\frac{3}{4}T\)  ta có \(\Delta \varphi =\omega \Delta t=\frac{2\pi }{T}\frac{3T}{4}=\frac{3\pi }{2}\) rad. Từ hình vẽ ta có: 

φ₁ + φ₂  = \(\frac{\pi }{2}\)  => sinφ₂ = cosφ₁ (1) Từ công thức: => \({q_{0}}^{1}=q^{2}+\frac{i^{2}}{\omega ^{2}}\Rightarrow sin\varphi _{2}=\frac{i_{2}}{\omega q_{0}}\)

Do đó (1)

 Vậy : T = 10^-3s. 

Ví dụ 4: Mạch dao động lí tưởng gồm cuộn dây có độ tự cảm L = 0,2H và tụ điện có điện dung C = 20πF. Người ta tích điện cho tụ điện đến hiệu điện thế cực đại U₀ = 4V. Chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là lúc tụ điện bắt đầu phóng điện. Viết biểu thức tức thời của điện tích q trên bản tụ điện mà ở thời điểm ban đầu nó tích điện dương. Tính năng lượng điện trường tại thời điểm \(t=\frac{T}{8}\) , T là chu kì dao động.

Hướng dẫn giải:

Điện tích tức thời

 \(q=Q_{0}cos(\omega t+\varphi )\)

Trong đó

Vậy phương trình cần tìm: q = 8.10^-5cos500t (C)

Năng lượng điện trường

 \(W_{d}=\frac{1}{2}\frac{q^{2}}{C}\)

Vào thời điểm \(t=\frac{T}{8}\), điện tích của tụ điện bằng \(q=Q_{0}cos\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{8}=\frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}\)

, thay vào ta tính được năng lượng điện trường

Ví dụ 5: Trong một mạch dao động, điện tích của tụ điện biến thiên theo quy luật: q = 2,5.10^-6cos(2.10³πt)(C).

a)    Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời trong mạch.

b)    Tính năng lượng điện từ và tần số dao động của mạch. Tính độ tự cảm của cuộn dây, biết điện dung của tụ điện là 0,25πF.

Hướng dẫn:

Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch 

 hay có thể viết dưới dạng \(i=5.10^{-3}cos(2.10^{3}\pi t+\frac{\pi }{2})(A)\)

Năng lượng điện từ

Độ tự cảm của cuộn dây 

Từ công thức tính tần số góc:\(\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}\), suy ra \(L=\frac{1}{C\omega ^{2}}=\frac{1}{0,25.10^{-6}.(2.10^{3})^{2}}=0,1H\)

dụ 6: Mạch dao động LC lí tưởng thực hiện dao động điện từ. Hãy xác định khoảng thời gian, giữa hai lần liên tiếp, năng lượng điện trường trên tụ điện bằng năng lượng từ trường trong cuộn dây.

Hướng dẫn:

Khi năng lượng điện trường trên tụ bằng năng lượng từ trường trong cuộn dây, ta có \(W_{d}=W_{t}=\frac{1}{2}W\) hay \(\frac{1}{2}.\frac{q^{2}}{C}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\frac{{Q_{0}}^{2}}{C})\Rightarrow q=\pm Q_{0}\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Với hai vị trí li độ  \(q=\pm Q_{0}\frac{\sqrt{2}}{2}\) trên trục Oq, tương ứng với 4 vị trí trên đường tròn, các vị trí này cách đều nhau bởi các cung \(\frac{\pi }{2}\).

Có nghĩa là, sau hai lần liên tiếp W_đ = W_t, pha dao động đã biến thiên được một lượng là \(\frac{\pi }{2}=\frac{2\pi }{4}\Leftrightarrow \frac{T}{4}\)

(Pha dao động biến thiên được 2 sau thời gian một chu kì T)

Tóm lại, cứ sau thời gian \(\frac{T}{4}\)  năng lượng điện lại bằng năng lượng từ.

Ví dụ 7: Biểu thức điện tích của tụ trong một mạch dao động có dạng q=Q₀sin(2π.10⁶t)(C). Xác định thời điểm năng lượng từ bằng năng lượng điện đầu tiên.

Hướng dẫn

Có thể viết lại biểu thức điện tích dưới dạng hàm số cosin đối với thời gian, quen thuộc như sau:

 \(q=Q_{0}cos(2\pi .10^{-6}t-\frac{\pi }{2})\)

và  coi q như li độ của một vật dao động điều hòa.

Ban đầu, pha dao động bằng \(-\frac{ \pi }{2}\) , vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

W_đ = W_t lần đầu tiên khi \(q=Q_{0}\frac{\sqrt{2}}{2}\) , vectơ quay chỉ vị trí cung \(-\frac{\pi }{4}\), tức là nó đã quét được một góc \(\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{8}\) tương ứng với thời gian \(\frac{T}{8}\) .

Vậy thời điểm bài toán cần xác định là t = \(\frac{T}{8}=\frac{2\pi }{8\omega }=\frac{\pi }{2\pi .10^{6}}=5.10^{-7}s\)

Ví dụ 8: Một mạch dao động LC lí tưởng, dao động với năng lượng điện từ là 5.10^-5J. Hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ điện và cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây lần lượt là 5V và 1mA.

a)     Xác định điện lượng chuyển qua cuộn dây trong thời gian giữa hai lần liên tiếp hiệu điện thế có độ lớn cực đại.

b)    Chọn t = 0 lúc hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện bằng không. Xác định thời điểm năng lượng điện trên tụ gấp 3 lần năng lượng từ trong cuộn dây lần đầu tiên.

Ví dụ 9: Một mạch dao động điện từ LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm 5μH và tụ điện có điện dung 5μF. Trong mạch có dao động điện từ tự do. Tính khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà điện tích trên một bản tụ điện có độ lớn cực đại và khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường.

Hướng dẫn: Chu kỳ dao động: T = 2π\(\sqrt{LC}\)= 10π.10^-6 = 31,4.10^-6 s.

   Trong một chu kì có 2 lần điện tích trên bản tụ đạt giá trị cực đại nên khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà điện tích trên bản tụ đạt cực đại là ∆t = \(\frac{T}{2}\)= 5π.10^-6 = 15,7.10^-6s.

   Trong một chu kì có 4 lần năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường nên khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà năng lượng điện trường  bằng năng lượng từ trường là ∆t’ = \(\frac{T}{4}\) = 2,5π.10^-6 = 7,85.10^-6 s.