Sóng điện từ - liên lạc bằng thông tin vô tuyến - mạch chọn sóng với bộ tụ điện có các tụ ghép

SÓNG ĐIỆN TỪ - LIÊN LẠC BẰNG THÔNG TIN VÔ TUYẾN - MẠCH CHỌN SÓNG VỚI BỘ TỤ ĐIỆN CÓ CÁC TỤ ĐIỆN GHÉP

1. Kiến thức liên quan: Sóng điện từ là quá trình lan truyền trong không gian của điện từ trường biến thiên theo thời gian.Sóng điện từ là sóng ngang, lan truyền trong chân không với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng (c = 3.108 m/s). Các loại sóng vô tuyến:

 Trong thông tin liên lạc bằng vô tuyến để phát sóng điện từ đi xa người ta phải “trộn” sóng âm tần hoặc thị tần với sóng mang cao tần (gọi là biến điệu). Có thể biến điệu biên độ, tần số hoặc pha của dao động cao tần: làm cho biên độ, tần số hoặc pha của dao động cao tần biến thiên theo tần số của dao động âm tần hoặc thị tần.

- Bước sóng điện từ: trong chân không:  \(\lambda =\frac{c}{f}=c.T=c2\pi \sqrt{LC}\)            (c = 3.10⁸ m/s)

                                 trong môi trường: \(\lambda =\frac{v}{f}=\frac{c}{nf}\)             (c = 3.10⁸ m/s).

- Nếu mạch chọn sóng có cả L và C biến đổi thì bước sóng mà máy thu vô tuyến thu được sẽ thay đổi trong giới hạn từ: \(\lambda _{min}=2\pi c\sqrt{L_{min}C_{min}}\) đến \(\lambda _{max}=2\pi c\sqrt{L_{max}C_{max}}\) 

- Bộ tụ mắc song song: C = C₁ + C₂ + …+ C_n. Xét 2 tụ mắc song song: :

    + Chu kỳ: \(T_{ss}=2\pi \sqrt{L(C_{1}+C_{2})}\)     

    + Liên hệ giữa các chu kỳ: \(T_{ss}^{2}=T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\)

    + Tần số: \(f_{ss}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L(C_{1}+C_{2})}}\)

    + Liên hệ giữa các tần số: \(\frac{1}{f_{ss}^{2}}=\frac{1}{f_{1}^{2}}+\frac{1}{f_{2}^{2}}\)

    + Tần số góc: \(\omega _{ss}=\frac{1}{\sqrt{L(C_{1}+C_{2})}}\)  

- Bộ tụ mắc nối tiếp : \(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}}\)

+ Xét 2 tụ mắc nối tiếp :

     + Chu kỳ: \(T_{nt}=2\pi \sqrt{L.\frac{C_{1}C_{2}}{(C_{1}+C_{2})}}\)  Hay  \(T_{nt}=\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{1}{L}(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}) }}\) 

     + Liên hệ giữa các chu kỳ:  \(\frac{1}{T_{nt}^{2}}=\frac{1}{T_{1}^{2}}+\frac{1}{T_{2}^{2}}\)

     + Tần số: \(f_{nt}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{L}(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}})}\) Hay  \(f_{nt}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{C_{1}+C_{2}}{L.C_{1}.C_{2}}}\) 

     + Liên hệ giữa các tần số:  \(f_{nt}^{2}=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\)   

     + Tần số góc :   \(\omega _{nt}=\sqrt{\frac{C_{1}+C_{2}}{L.C_{1}.C_{2}}}\)

2. Phương pháp

a. Mỗi giá trị của L hặc C, cho ta một giá trị tần số, chu kì tương ứng, viết tất cả các biểu thức tần số hoặc chu kì đó rồi gán những giá trị đề bài cho tương ứng (nếu có).

VD: - Khi độ tự cảm cuộn dây là L₁, điện dung tụ điện là C₁ thì chu kì dao động là T₁

        - Khi độ tự cảm cuộn dây là L₂, điện dung tụ điện là C₂ thì chu kì dao động là T₂

            ...........

- Ta có các biểu thức chu kì  (hoặc tần số) và bước sóng tương ứng:

   \(T_{1}=2\pi \sqrt{L_{1}C_{1}}\) ;  \(f_{1}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_{1}C_{1}}}\) ; \(\lambda _{1}=2\pi c\sqrt{L_{1}C_{1}}\)

   \(T_{2}=2\pi \sqrt{L_{2}C_{2}}\) ; \(f_{2}=\frac{1}{2\pi \sqrt{L_{2}C_{2}}}\) ; \(\lambda _{2}=2\pi c\sqrt{L_{2}C_{2}}\)

..........

- Lập mối liên hệ toán học giữa các biểu thức đó. Thường là lập tỉ số; bình phương hai vế rồi cộng, trừ các biểu thức; phương pháp thế.....

b. Từ công thức tính bước sóng ta thấy, bước sóng biến thiên theo L và C. L hay C càng lớn, bước sóng càng lớn. Nếu điều chỉnh mạch sao cho C và L biến thiên từ C_m, L_m đến C_M, L_M thì bước sóng cũng biến thiên tương ứng trong dải từ \(\lambda _{m}=2\pi c\sqrt{L_{m}C_{m}}\) đến \(\lambda _{M}= 2\pi c\sqrt{L_{M}C_{M}}\)

3. Một số bài tập minh họa

Bài 1: Một mạch dao động gồm có một cuộn cảm có độ tự cảm L = 10^-3H và một tụ điện có điện dung điều chỉnh được trong khoảng từ 4pF đến 400pF (1pF = 10^-12F).

Mạch này có thể có những tần số riêng như thế nào?

Giải: Từ công thức \(f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) suy ra \(C=\frac{1}{4\pi ^{2}Lf^{2}}\) 

Theo bài ra: \(4.10^{-12}F\leq C\leq 400.10^{-12}F\) ta được \(4.10^{-12}F\leq \frac{1}{4\pi ^{2}Lf^{2}}\leq 400.10^{-12}F\)

với tần số f luôn dương, ta suy ra: \(2,52.10^{5}Hz\leq f\leq 2,52.10^{6}Hz\)

Với cách suy luận như trên thì rất chặt chẽ nhưng sự biến đổi qua lại khá rắc rối, mất nhiều thời gian và hay nhầm lẫn.

Như đã nói ở phần phương pháp, tần số luôn nghịch biến theo C và L, 

nên f_max ứng với C_min, L_min và f_min ứng với C_max và L_max.

    => \(\left\{\begin{matrix}f_{min}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{max}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3}.400.10^{-12}}}=2,52.10^{5}Hz \\ f_{max}= \frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{min}}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-3}.4.10^{-12}}}=2,52.10^{6}Hz \end{matrix}\right.\)

tức là tần số biến đổi từ 2,52.10⁵Hz đến 2,52.10⁶Hz 

Bài 2: Một cuộn dây có điện trở không đáng kể mắc với một tụ điện có điện dung 0,5mF thành một mạch dao động. Hệ số tự cảm của cuộn dây phải bằng bao nhiêu để tần số riêng của mạch dao động có giá trị sau đây:

a)    440Hz (âm).

b)    90Mhz (sóng vô tuyến).

Giải: Từ công thức \(f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) suy ra công thức tính độ tự cảm: \(L=\frac{1}{4\pi ^{2}Cf^{2}}\)

a)     Để f = 440Hz ; \(L=\frac{1}{4\pi ^{2}Cf^{2}}=\frac{1}{4\pi ^{2}.0,5.10^{-6}.440^{2}}=0,26H\) 

b)    Để f = 90MHz = 90.10⁶Hz

 \(L=\frac{1}{4\pi ^{2}Cf^{2}}=\frac{1}{4\pi ^{2}.0,5.10^{-6}(90.10^{6})^{2}}=6,3.10^{-12}H=6,3pH\)

Bài 3: Một mạch dao động gồm cuộn dây L và tụ điện C. Nếu dùng tụ C₁ thì tần số dao động riêng của mạch là 60kHz, nếu dùng tụ C₂ thì tần số dao động riêng là 80kHz. Hỏi tần số dao động riêng của mạch là bao nhiêu nếu:

a)    Hai tụ C₁ và C₂ mắc song song.

b)    Hai tụ C₁ và C₂ mắc nối tiếp.

Giải: Bài toán đề cập đến mạch dao động với 3 bộ tụ  khác nhau, ta lập 3 biểu thức tần số tương ứng:

+ Khi dùng C₁: \(f_{1}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{1}}}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{1}{{f_{1}}^{2}}=4\pi ^{2}LC_{1} \\ {f_{1}}^{2}=\frac{1}{4\pi ^{2}LC_{1}} \end{matrix}\right.\)

+ Khi dùng C₂: \(f_{2}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC_{2}}}\Rightarrow\)  \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{{f_{2}}^{2}}=4\pi ^{2}LC_{2} \\ {f_{2}}^{2}=\frac{1}{4\pi ^{2}LC_{2}} \end{matrix}\right.\)

a)     Khi dùng hai tụ C₁ và C₂ mắc song song, điện dung của bộ tụ C = C₁ + C₂

 \(f=\frac{1}{2\pi \sqrt{L(C_{1}+C_{2})}} \Rightarrow \frac{1}{f^{2}}=4\pi ^{2}L(C_{1}+C_{2})\)

Suy ra: \(\frac{1}{f^{2}}=\frac{1}{{f_{1}}^{2}}+\frac{1}{{f_{2}}^{2}}\Rightarrow f=\frac{f_{1}f_{2}}{\sqrt{{f_{1}}^{2}+{f_{2}}^{2}}}=\frac{60.80}{\sqrt{60^{2}+80^{2}}}=48kHz\)

b)    Khi dùng hai tụ C₁ và C₂ mắc nối tiếp, điện dung của bộ tụ đước xác định bởi  \(\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\)

 \(f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{1}{L}(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}})}\Rightarrow f^{2}=\frac{1}{4\pi ^{2}L}(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}})\)

Suy ra:  \(f^{2}={f_{1}}^{2}+{f_{2}}^{2}\Rightarrow f=\sqrt{{f_{1}}^{2}+{f_{2}}^{2}}=\sqrt{60^{2}+80^{2}}=100kHz\)

Bài 4: Mạch dao động của một máy thu vô tuyến gồm cuộn cảm L = 1mH và tụ điện biến đổi C, dùng để thu sóng vô tuyến có bước sóng từ 13m đến 75m. Hỏi điện dung C của tụ điện biến thiên trong khoảng nào?

Giải: 

 Từ công thức tính bước sóng: \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC}\) suy ra \(C=\frac{\lambda ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}L}\)

 Do \(\lambda > 0\) nên C đồng biến theo\(\lambda\)

 \(C_{min}=\frac{\lambda _{min}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}L}=\frac{13^{2}}{4\pi ^{2}(3.10^{8})^{2}10^{-6}}= 47,6.10^{-12}F=47,6pF\)

\(C_{max}=\frac{\lambda _{max}^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}L}=\frac{75^{2}}{4\pi ^{2}(3.10^{8})^{2}10^{-6}}= 1538.10^{-12}F=1538 pF\)

Vậy điện dung biến thiên từ 47.10^-12C đến 1583.10^-12C.

Bài  5: Mạch dao động để chọn sóng của một máy thu thanh gồm một cuộn dây có độ tự cảm L = 11,3\(\mu\)H và tụ điện có điện dung C = 1000pF.

a)    Mạch điện nói trên có thể thu được sóng có bước sóng \(\lambda _{0}\) bằng bao nhiêu?

b)    Để thu được dải sóng từ 20m đến 50m, người ta phải ghép thêm một tụ xoay C_V với tụ C nói trên. Hỏi phải ghép như thế nào và giá trị của C_V thuộc khoảng nào?

c)     Để thu được sóng 25m, C_V phải có giá trị bao nhiêu? Các bản tụ di động phải xoay một góc bằng bao nhiêu kể từ vị trí điện dung cực đại để thu được bước sóng trên, biết các bản tụ di động có thể xoay từ 0 đến 180⁰?

Giải:

a)     Bước sóng mạch thu được: \(\lambda _{0}=2\pi c\sqrt{LC}=2\pi .3.10^{8}.\sqrt{11,3.10^{-6}.1000.10^{-12}}=200m\)

b)    Nhận xét:

Dải sóng cần thu có bước sóng nhỏ hơn bước sóng \(\lambda _{0}\) nên điện dung của bộ tụ phải nhỏ hơn C. Do đó phải ghép C_V nối tiếp với C.

Khi đó:

 \(\lambda =2\pi c\sqrt{L.\frac{CC_{V}}{C+C_{V}}}\Rightarrow C_{V}=\frac{\lambda ^{2}C}{4\pi ^{2}c^{2}LC-\lambda ^{2}}\)

Với \(\lambda > 0\), C_V biến thiên nghịch biến theo l.

 \(C_{Vmin}=\frac{\lambda _{max}^{2}C}{4\pi ^{2}c^{2}LC-\lambda _{max}^{2}}=\frac{50^{2}.1000.10^{-12}}{4\pi ^{2}(3.10^{8})^{2}.11,3.10^{-6}.10^{-9}-50^{2}}=10,1.10^{-12}F\)

\(C_{Vmax}=\frac{\lambda _{min}^{2}C}{4\pi ^{2}c^{2}LC-\lambda _{min}^{2}}=\frac{20^{2}.1000.10^{-12}}{4\pi ^{2}(3.10^{8})^{2}.11,3.10^{-6}.10^{-9}-20^{2}}=66,7.10^{-12}F\)

Vậy \(20,1pF\leq C_{V}\leq 66,7pF\)

c)     Để thu được sóng \(\lambda _{1}\) = 25m,

\(C_{V}=\frac{\lambda _{1}^{2}C}{4\pi ^{2}c^{2}LC-\lambda _{1}^{2}}=\frac{25^{2}.10^{-9}}{4\pi ^{2}(3.10^{8})^{2}.11,3.10^{-6}.10^{-9}-25^{2}}=15,9.10^{-12}F\)

Vì C_V tỉ lệ với góc xoay nên ta có :

 \(\frac{C_{Vmax}-C_{V1}}{C_{Vmax}-C_{Vmin}}\Rightarrow \Delta \varphi =180.(\frac{C_{Vmax}-C_{V1}}{C_{Vmax}-C_{Vmin}})=180.(\frac{66,7-15,9}{66,7-10,1})\) = \(162^{0}\)

Bài  6:  Cho mạch chọn sóng của máy thu vô tuyến điện gồm tụ \(C_{0}\) ghép song song  với tụ xoay \(C_{X}\)(Điện dung của tụ xoay tỉ lệ hàm bậc nhất với góc xoay \(\alpha\) ). Cho góc xoay  biến thiên từ 0⁰ đến 120⁰ khi đó \(C_{X}\) biến thiên từ 10\(\mu F\) đến 250\(\mu F\), nhờ vậy máy thu được dải sóng từ 10m đến 30m. Điện dung \(C_{0}\) có giá trị bằng

          A. 40\(\mu F\).              B. 20\(\mu F\).               C. 30\(\mu F\).               D. 10\(\mu F\).

Giải : Do \(C_{X}\)  ghép song song với \(C_{0}\)

\(C_{b1}\) = \(C_{0}\) + \(C_{X1}\) (*) (\(C_{X1}\) = Cmin = 10)

\(C_{b2}\) = \(C_{0}\) + \(C_{X2}\)       (\(C_{X2}\)  = Cmax = 250)

\(C_{b2}\) – \(C_{b1}\) = 240                                           (1)

\(\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{2\pi c\sqrt{LC_{b1}}}{2\pi\sqrt{LC_{b2}}}=3\Rightarrow C_{b2}=9C_{b1}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(C_{b1}\) = 30; \(C_{b2}\) = 270; thay \(C_{b1}\) vào (*) suy ra  \(C_{0}\) = 20.

Đáp án B

Bài  7:  Mạch chọn sóng của một máy thu vô tuyến điện gồm một cuộn cảm thuần và một tụ điện là tụ xoay C_x.  Điện dung của tụ C_x là hàm số bậc nhất của góc xoay. Khi chưa xoay tụ (góc xoay bằng \(0^{0}\)) thì mạch thu được sóng có bước sóng 10 m. Khi góc xoay tụ là 45⁰  thì mạch thu được sóng có bước sóng 20 m. Để mạch bắt được sóng có bước sóng 30 m thì  phải xoay tụ tới góc xoay bằng

                 A. 120⁰.                           B. 135⁰.                C. 75⁰.                     D. 90⁰.

Giải:

 \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\lambda_{0} =2\pi c\sqrt{LC_{0}}=10(m) \\\lambda_{1} =2\pi c\sqrt{LC_{1}} = 20(m) \\ \lambda_{2} =2\pi c\sqrt{LC_{2}}=30(m) \end{matrix}\right.\)       \(C=C_{0}+k\alpha\)

 \((\frac{\lambda _{1}}{\lambda _{0}})^{2}=\frac{C_{1}}{C_{0}}=4\Rightarrow C_{1}=4C_{0}\Leftrightarrow 4C_{0}=C_{0}+45k\Rightarrow k=\frac{C_{0}}{15}\)

\((\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{0}})^{2}=\frac{C_{2}}{C_{0}}=9\Rightarrow C_{1}=9C_{0}\Leftrightarrow 9C_{0}=C_{0}+\frac{C_{0}}{15}.\alpha \Rightarrow \alpha =120^{0}\)

Đáp án A

Bài  8: Mạch chọn sóng của một máy thu vô tuyến gồm cuộn cảm thuần \(L=\frac{1}{108\pi ^{2}}mH\) và tụ xoay có điện dung biến thiên theo góc xoay: \(C=\alpha +30(pF)\). Góc xoay α thay đổi được từ 0 đến 180^o. Mạch thu được sóng điện từ có bước sóng 15m khi góc xoay \(\alpha\) bằng

A. 82,5^o.                 B. 36,5^o.                 C. 37,5^o.                 D. 35,5^o.

Giải:

 \(\lambda =2\pi c\sqrt{LC}\Rightarrow C=\frac{\lambda ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}L}=\frac{15^{2}}{4\pi ^{2}.3^{2}.10^{16}.\frac{1}{108\pi ^{2}}.10^{-3}}=67,5.10^{-12}F\) \(=67,5pF\)

Điện dung của tụ điên:  \(C=\alpha +30(pF)\) = 67,5 (pF) => α = 37,5⁰ .

Đáp án C

 ( vì theo công thức   \(C=\alpha +30(pF)\) thì ứng với 1⁰ là 1 pF)