Giao thoa với nguồn ánh sáng gồm 3 ánh sáng đơn sắc khác nhau

GIAO THOA VỚI NGUỒN ÁNH SÁNG GỒM 3 ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC KHÁC NHAU

Phương pháp:  Chùm sáng gồm 3 bức xạ λ₁ λ₂ λ₃ (Hay gồm 4, 5  bức xạ làm tương tự)

 \(\frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{p}{q}=\frac{np}{nq}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k_{1}=0;\pm p;\pm 2p;\pm 3p... \\ k_{2}=0;\pm q;\pm 2q;\pm 3q... \end{matrix}\right.\)

\({{{k_2}} \over {{k_3}}} = {{{\lambda _3}} \over {{\lambda _2}}} = {{p'} \over {q'}} = {{np'} \over {nq'}} \Rightarrow \left\{ \matrix{
{k_1} = 0; \pm p'; \pm 2p'; \pm 3p'... \hfill \cr
{k_2} = 0; \pm q'; \pm 2q'; \pm 3q'... \hfill \cr} \right.\)

\({{{k_1}} \over {{k_3}}} = {{{\lambda _3}} \over {{\lambda _1}}} = {{p''} \over {q''}} = {{np''} \over {nq''}} \Rightarrow \left\{ \matrix{
{k_1} = 0; \pm p''; \pm 2p''; \pm 3p''... \hfill \cr
{k_2} = 0; \pm q''; \pm 2q''; \pm 3q''... \hfill \cr} \right.\)

  Hoặc có thể xác định: Vị trí vân sáng của các bức xạ đơn sắc trùng nhau

        \(X=k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}=k_{3}\frac{\lambda _{3}D}{a}\)  \(\Rightarrow\) \(k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}=k_{3}\lambda _{3}\); với  \(k_{1},k_{2},k_{3}\in Z\)

Dựa vào phương trình biện luận chọn các giá trị k thích hợp, thường chọn k là bội số của số nguyên nào đó.

Khoảng vân trùng (khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân cùng màu với vân trung tâm):

Ba bức xạ: \(i_{12}=BCNN(i_{1}i_{2}i_{3})\)

Các dạng toán tương tự như giao thoa với 2 bức xạ, nhưng lưu  ý vân trùng có nhiều loại:

+Vân trùng của cả 3 bức xạ (cùng màu vời vân trung tâm),

+Vân trùng của 2 bức xạ ( khác màu với vân trung tâm),

Cách tìm bội chung nhỏ nhất(BCNN):

Đặc biệt máy VINACAL fx-570ES Plus còn có thêm chức năng SHIFT 6 như:

1: Q,r     (Chia tìm phần nguyên và dư)

2: LCM (Tìm bội chung nhỏ nhất: BCNN: The Least Common Multiple hay Lowest Common Multiple)

3: GCD  (Tìm ước chung lớn nhất: UCLN)

4: FACT( phân tích ra thừa số nguyên tố)

Ví dụ:  Tìm BCNN cua 2 số 4 và 5: SHIFT 6 2 4 , 5 = 20

Cách Tìm ước chung lớn nhất (UCLN) - Bội chung nhỏ nhất (BCNN)

Phương Pháp : Để tim UCLN(a,b) ta lấy \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)  (\(\frac{c}{d}\) là phân số tối giản của \(\frac{a}{b}\))
Để tìm UCLN ta lấy: \(\frac{a}{c}\)
Để tìm BCNN ta lấy a*d
Ví dụ: Tim UCLN, BCNN của 50 va 20
Ta có: \(\frac{50}{20}= \frac{5}{2}\)  UCLN(50;20) = \(\frac{50}{5}\) = 10; BCNN(50;20) = 50*2 = 100

Bài tập

Bài 1:  Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu đồng thời 3 bức xạ đơn sắc có bước sóng     λ₁ = 0,4μm , λ₂ = 0,5μm , λ₃ = 0,6μm . Trên màn quan sát ta hứng được hệ vân giao thoa , trong khoảng giữa hai vân     sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm, ta quan sát được bao nhiêu vân sáng?

Bài giải

Khi các vân sáng trùng nhau:   k₁λ₁ =  k₂λ₂ =  k₃λ₃ \(\Rightarrow\) k₁0,4 = k₂0,5 = k₃0,6 <=> 4k₁ = 5k₂ =  6k₃ 

BSCNN(4,5,6) = 60 => k₁ = 15; k₂ = 12; k₃ = 10: Bậc 15 của λ₁ trùng bậc 12 của λ₂ trùng với bậc 10 của λ₃

Tổng số vân sáng là: 14 + 11 + 9 = 34 vân 

Ta  lập tỉ số cho tới khi   k₁ = 15 ; k₂ = 12 ; k₃ = 10

- Với cặp λ₁, λ₂ : \(\frac{k_{1}}{k_{2}}= \frac{\lambda 2}{\lambda _{1}}=\frac{5}{4}=\frac{10}{8}=\frac{15}{12}\)  trong khoảng giữa có 2 vị trí trùng nhau ( k₁ = 5; 10).

- Với cặp λ₂, λ₃ : \(\frac{k_{2}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{2}}=\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=\frac{15}{12}\) trong khoảng giữa có 1 vị trí trùng nhau (k₂ = 6).

- Với cặp λ₁, λ₃ :  \(\frac{k_{1}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{1}}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}\) trong khoảng giữa có 4 vị trí trùng nhau ( k₃ = 2; 4; 6; 8) Vậy tất cả có 2 + 1 +4 =7 vị trí trùng nhau (nhị trùng) của các bức xạ. 

(Xem bảng dưới)

Số vân sáng quan sát được = Tổng số VS tính toán – Số vị trí trùng nhau  = 34 – 7 = 27 vân sáng.    

Mô tả: 

+ Trên đoạn từ vân VSTT đến  k₁ = 15; k₂ = 12  thì có tất cả 4 vị trí trùng nhau

Vị trí 1: VSTT

Vị trí 2:  k₁ = 5 ; k₂ = 4 

Vị trí 3:  k₁ = 10; k₂ = 8

Vị trí 4:  k₁= 15; k₂ = 12

\(\Rightarrow\) Những khoảng giữa chỉ có 2 vị trí trùng nhau k₁ = 5; 10 k₂ = 4; 8

- Với cặp λ₂, λ₃ : \(\frac{k_{2}}{k_{3}}=\frac{\lambda _{3}}{\lambda _{2}}=\frac{6}{5}=\frac{12}{10}\)     

+ Trên đoạn từ vân VSTT đến  k₂ = 12 ; k₃ = 10  thì có tất cả 3 vị trí trùng nhau

Vị trí 1: VSTT  

Vị trí 2:  k₂ = 6; k₃ = 5

Vị trí 3:  k₂ = 12; k₃ = 10

\(\Rightarrow\) Nhưng trong khoảng giữa có 1 vị trí trùng nhau: k₂ = 6 ; k₃ = 5

- Với cặp λ₁, λ₃ : \(\frac{k_{1}}{k_{3}}=\frac{\lambda _{3}}{\lambda _{1}}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}= \frac{12}{8}=\frac{15}{10}\)        

+ Trên đoạn từ vân VSTT đến  k₁ = 15; k₃ = 10  thì có tất cả 6 vị trí trùng nhau

Vị trí 1: VSTT  

Vị trí 2:  k₁ = 3; k₃ = 2

Vị trí 3:  k₁ = 6   ;  k₃ = 4

Vị trí 4:  k₁ = 9   ;  k₃ = 6

Vị trí 5:  k₁ = 12 ;  k₃ = 8

Vị trí 6:  k₁ = 15 ;  k₃ = 10 

\(\Rightarrow\) Nhưng trong khoảng giữa có 4 vị trí trùng nhau: k₁ = 3; k₃ = 2; k₁ = 6; k₃ = 4; k₁ = 9; k₃ = 6 và k₁ = 12;  k₃ = 8

Vậy tất cả có 2 + 1 + 4 = 7 vị trí trùng nhau của các bức xạ.

Số vân sáng quan sát được = Tổng số vân sáng tính toán – Số vị trí trùng nhau  = 34 – 7 = 27 vân sáng.    

Bài 2:  Trong thí nghiệm I-âng ,cho 3 bức xạ λ₁= 400nm, λ₂ = 500nm, λ₃ = 600 nm.Trên màn quan sát ta hứng được hệ vân giao thoa trong khoảng giữa 3 vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm, ta quan sát được số vân sáng là 

A.54                          B.35                          C.55                           D.34

Giải 1:  Xét từ vân trung tâm đến vân trùng thứ 2 ( 3 vân trùng liên tiếp):

\(\frac{k_{1}}{k_{2}}= \frac{\lambda 2}{\lambda _{1}}=\frac{5}{4}=\frac{10}{8}=\frac{15}{12}=\frac{20}{16}=\frac{25}{20}=\frac{30}{24}\)

\(\frac{k_{2}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{2}}=\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=\frac{18}{15}=\frac{24}{20}\)

\(\frac{k_{1}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{1}}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}=\frac{18}{12}=\frac{21}{14}=\frac{24}{16}=\frac{27}{18}=\frac{30}{20}\)

Số vân sáng của λ₁, k₁ từ 1 đến 29: có 29 vân

Số vân sáng của λ₂, k₂ từ 1 đến 23: có 23 vân

Số vân sáng của λ₃, k₃ từ 1 đến 19: có 19 vân

Tổng số vân sáng của 3 đơn sắc là 29 + 23 + 19 = 71 vân

Số vân sáng của λ₁ và λ₂ trùng là  \(\frac{k_{1}}{k_{2}}= \frac{\lambda 2}{\lambda _{1}}=\frac{5}{4}=\frac{10}{8}=\frac{15}{12}=\frac{20}{16}=\frac{25}{20}\)  (5 vân)

Số vân sáng của λ₂ và λ₃ trùng là  \(\frac{k_{2}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{2}}=\frac{6}{5}=\frac{12}{10}=\frac{18}{15}\)  (3 vân)

Số vân sáng của λ₁ và λ₃ trùng là  \(\frac{k_{1}}{k_{3}}= \frac{\lambda 3}{\lambda _{1}}=\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=\frac{12}{8}=\frac{15}{10}=\frac{18}{12}=\frac{21}{14}=\frac{24}{16}=\frac{27}{18}\)  (9 vân)

Số vân quan sát thấy là  71 - (5 + 3 + 9) = 54 vân. Nếu kể cả 1 vân cùng màu với vân trung tâm là 55 vân

Giải 2: Vị trí các vân cùng màu với vân trung tâm: 

+ X = k₁i₁ = k₂i₂ = k₃i₃ => k₁λ₁ = k₂λ₂ = k₃λ₃ .=> 4k₁ = 5k₂ = 6k₃  

Bội số chung nhỏ nhất của 4, 5 và 6 là 60 suy ra k₁ = 15n;  k₂ = 12n; k₃ = 10n.

Vị trí vân sáng cùng màu với vân trung tâm: x = 60n. Trong khoảng giữa 2 vân sáng cùng màu với vân trung tâm gần nhau nhất: n= 0 và n= 1 (với  k₁ = 15; k₂ = 12 và k₃  = 10)có: 14 vân sáng của λ₁ với k₁ ≤ 14; 11 vân sáng của  λ₂ với       k₂ ≤ 11; 9 vân sáng của  λ₃ với k₃ ≤ 9;

Trong đó vị trí hai vân sáng trùng nhau:  \(X_{12}\) = k₁i₁ = k₂i₂ .=> k₁λ₁ = k₂λ₂ => 4 k₁ = 5 k₂ 

Suy ra k₁ = 5n₁₂;  k₂ = 4n₁₂. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhất cùng màu với vân trung tâm có 2 vân sáng  của  λ₁ λ₂ trùng nhau.( k₁ = 5; 10; k₂ =  4; 8)

+ \(X_{23}\) = k₂i₂ = k₃i₃ => k₂λ₂ = k₃λ₃ => 5k₂ = 6k₃ => k₂ = 6n₂₃; k₃ = 5n₂₃. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhất cùng màu với vân trung tâm có 1 vân sáng của λ₂ λ₃ trùng nhau (k₂ = 6; k₃ = 5)

+ \(X_{13}\) = k₁i₁ = k₃i₃ => k₁λ₁ = k₃λ₃  => 4k₁ = 6k₃ => k₁ = 3n₁₃; k₃ = 2n_13. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần  nhất cùng màu với vân trung tâm có 4 vân sáng của λ₁ λ₃ trùng nhau (k₁ = 3; 6; 9;12; k₃ = 2; 4; 6; 8)                            

Như vậy trong khoảng giưa hai vân sáng gần nhất cùng màu với vân sáng trung tâm có 7 vạch sáng có sự trùng nhau của hai vân sáng. Do đó trên màn trong khoảng giữa 2 vân sáng liên tiếp có màu giống màu vân trung tâm, có số vân sáng là 14 + 11 + 9 - 7 = 27. Trong khoảng giữa 3 vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm, ta quan sát được số vân sáng là: 27.2 + 1 = 55 (kể cả 1 vân cùng màu với vân trung tâm). Chọn C

Bài 3. Trong thí nghiệm Iâng về giao thoa ánh sáng. Lần thứ nhất, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 2 loại  bức xạ    λ₁ = 0,56\(\mu m\) và λ₂ với \(0,67(\mu m)\leq \lambda _{2}\leq 0,74(\mu m)\), thì trong khoảng giữa hai vạch sáng gần nhau nhất cùng màu với vạch sáng trung tâm có 6 vân sáng màu đỏ λ₂. Lần thứ 2, ánh sáng dùng trong thí nghiệm có 3 loại bức xạ λ₁, λ₂ và λ₃  \(\lambda _{3}=\frac{7}{12}\lambda _{2}\) khi đó trong khoảng giữa 2 vạch sáng gần nhau nhất và cùng màu với vạch sáng trung tâm còn có bao nhiêu vạch  sáng đơn sắc  khác ?

          A. 25                                B.23                            C.21                               D.19.

Giải: Kể luôn 2 vân sáng trùng thì có 8 vân sáng của λ₂ => có 7i₂.

Gọi k là số khoảng vân của λ₁

Lúc đó  ki₁= 7i₂ => kλ₁ = 7λ₂ => 0,67μm < λ₂ = \(k\frac{\lambda _{1}}{7}\)  < 0,74μm => 8,3 < k < 9,25 chọn k = 9 => λ₂ = 0,72μm

(Xét vân sấng trùng gần vấn sấng trung tâm nhất)

Khi 3 vân sáng trùng nhau \(X_{1}=X_{2}=X_{3}\).

\(\frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{9}{7}\);   \(\frac{k_{2}}{k_{3}}=\frac{\lambda _{3}}{\lambda _{2}}=\frac{7}{12}\);  \(\frac{k_{1}}{k_{3}}=\frac{\lambda _{3}}{\lambda _{1}}=\frac{3}{4}=\frac{6}{8}=\frac{9}{12}\)

Vị trí 3 VS trùng ứng với k₁=9 , k₂ = 7 , k₃ = 12     

Giữa hai vân sáng trùng có: 8 vân sáng của λ₁ (k từ 1 đến 8); 6 vân sáng của λ₂ (k₂ từ 1 đến 6);11 vân sáng của λ₃  (k₁ từ 1 đến 11)

Tổng số vân sáng của 3 đơn sắc là 8+6+11= 25

Vì có 2 vị trí trùng của λ₁  và λ₃ ( với k₁=3, k₃=4 và k₁=6, k₃=8 )  nên số vân sáng đơn sắc là 25 – 2= 23. Chọn B

Bài 4:  Trong thí nghiệm I âng về giao thoa ánh sáng người ta sử dụng đồng thời ba ánh sáng đơn sắc có bước sóng lần lượt là \(\lambda _{1}=0,48\mu m\); \(\lambda _{1}=0,64\mu m\) và \(\lambda _{1}=0,72\mu m\). Số vân sáng đơn sắc quan sát được ở giữa hai vân sáng gần nhất cùng màu với vân sáng trung tâm là

 A. 26                                B. 21                             C. 16                               D. 23

Giải:  Vị trí các vân cùng màu với vân trung tâm:

+ \(X= k_{1}i_{1}= k_{2}i_{2}= k_{3}i_{3}\Rightarrow k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}=k_{3}\lambda _{3}\Rightarrow 48k_{1}=64k_{2}=72k_{3}\) hay \(6k_{1}=8k_{2}=9k_{3}\)

Bội số chung nhỏ nhất của 6, 8 và 9 là 72 Suy ra: k₁ = 12n; k₂ = 9n; k₃ = 8n.

Vị trí vân sáng cùng màu với vân trung tâm gần vân trung tâm nhất ứng với n =1: k₁ = 12; k₂ = 9; k₃ = 8

+ Vị trí hai vân sáng trùng nhau

a. \(X_{12}= k_{1}i_{1}= k_{2}i_{2}\Rightarrow k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}\Rightarrow 48k_{1}=64k_{2}\Rightarrow 3k_{1}=4k_{2}\)

Suy ra: k₁ = 4n₁₂;  k₂ = 3n₁₂. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm có 2 vân sáng  của bức xạ λ₁ λ₂ trùng nhau: k₁ = 4 trùng với k₂ =3; k₁ = 8 trùng với k₂ = 6 (Với n₁₂ = 1; 2)

b. \(X_{23}= k_{2}i_{2}= k_{3}i_{3}\Rightarrow k_{2}\lambda _{2}=k_{3}\lambda _{3}\Rightarrow 64k_{2}=72k_{3}\Rightarrow 8k_{2}=9k_{3}\)

Suy ra: k₂ = 9n₂₃;  k₃ = 8n₂₃. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm có 0 vân sáng  của bức xạ λ₂ ;λ₃ trùng nhau.

c.  \(X_{13}= k_{1}i_{1}= k_{3}i_{3}\Rightarrow k_{1}\lambda _{1}=k_{3}\lambda _{3}\Rightarrow 48k_{1}=72k_{3}\Rightarrow 2k_{1}=3k_{3}\)

Suy ra: k₁ = 3n₁₃;  k₃ = 2n₁₃. Trong khoảng giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân trung tâm có 3 vân sáng  của bức xạ λ₁ λ₃ trùng nhau ứng với n₁₃ = 1; 2; 3  ( k₁ = 3; 6; 9 và k₂ = 2; 4; 6). Do đó số vân sáng đơn sắc quan sát được giữa hai vân sáng gần nhau nhất cùng màu với vân sáng trung tâm là 11 +7 + 8 – 2 – 3 = 21 vân. Chọn  B