Bài toán trùng vân ( hay)

BÀI TOÁN TRÙNG VÂN

Dạng 1: Hai vân sáng trùng nhau

  Khi đó ta có x_s(λ₁) = x_s(λ₂)  <=> k₁i₁  =  k₂i₂ → k₁λ₁ = k₂λ₂ \(\Leftrightarrow \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}\)   (1)

  Khi biết λ₁ và λ₂ thì các cặp giá trị nguyên của k₁ và k₂ thỏa mãn (1) cho phép xác định tọa độ trùng nhau của các vân sáng, cặp (k₁, k₂) nguyên và nhỏ nhất cho biết tọa độ trùng nhau gần nhất so với vân trung tâm O.

Nhận xét:

Có hai dạng câu hỏi thường gặp nhất của bài toán trùng vân ứng với hai bức xạ:

  -  Tìm số vân sáng có trong khoảng từ vân trung tâm đến vị trí trùng nhau gần nhất của hai bức xạ.

    Đối với câu hỏi này thì chúng ta cần xác định vị trí trùng gần nhất, căn cứ vào các giá trị của k₁, k₂ để biết được vị trí đó là vân bậc nào của các bức xạ, từ đó tính được tổng số vân trong khoảng, trừ đi số vân trùng sẽ tìm được số vân quan sát được thực sự.

  -  Tìm số vân trùng nhau của hai bức xạ trên một khoảng hay đoạn cho trước.

    Câu hỏi dạng này đã được sử dụng cho đề thi đại học năm 2009, để giải quyết câu hỏi này thì đầu tiên chúng ta cần xác định được điều kiện trùng vân và khoảng cách giữa các lần trung là bao nhiêu, từ đó căn cứ vào vị trí của khoảng cho trước (thường là giới hạn bởi hai điểm nào đó) để tính ra trong khoảng đó có bao nhiêu vân trùng.

Ví dụ 1: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với hai bước sóng λ₁ = 0,6 (μm), còn λ₂ chưa biết. Trên màn ảnh người ta thấy vân sáng bậc 5 của hệ vân ứng với bước sóng λ₁ trùng với vân tối bậc 5 của hệ vân ứng với λ₂. Tìm bước sóng λ₂.

Lời giải:

Vân sáng bậc 5 của λ₁ có k = 5, còn vân tối bậc 5 của λ₂ có k = 4.

 Theo bài ta có phương trình x_s5(λ₁) = x_t4(λ₂) <=>\(5\frac{\lambda _{1}D}{a}=(2.4+1)\frac{\lambda _{2}D}{a}\rightarrow \lambda _{2}=\frac{10\lambda _{1}}{9}=0,66(\mu m)\)

Vậy λ₂ = 0,66 (μm).

Ví dụ 2: Hai khe I-âng S₁, S₂ cách nhau a = 2 mm được chiếu bởi nguồn sáng S.

a) Nguồn S phát ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ₁, người ta quan sát được 7 vân sáng mà khoảng cách giữa hai vân sáng ngoài cùng đo được là 2,16 mm. Tìm λ₁ biết màn quan sát đặt cách S₁S₂ một khoảng D = 1,2 m.

b) Nguồn S phát đồng thời hai bức xạ: bức xạ màu đỏ có λ₂ = 640 nm, và màu lam có λ₃ = 0,48 μm, tính khoảng vân i₂, i₃ ứng với hai bức xạ này. Tính khoảng cách từ vân sáng trung tâm đến vân sáng cùng màu gần với nó nhất.

Lời giải:

a)  Giữa 7 vân sáng có 6 khoảng vân nên

6i₁ = 2,16 (mm) → i₁ = 0,6 mm → λ₁ =  0,6 (μm)

b) Khoảng vân tương ứng với hai bức xạ đỏ và lam là

Xét một điểm M bất kỳ là điểm trùng của hai vân sáng ứng với λ₂ và λ₃.

 Ta có x_s(λ₂) = x_s(λ₃) <=>  k₂i₂  =  k₃i₃ → k₂λ₂ = k₃λ₃ <=>\(\frac{k_{2}}{k_{3}}=\frac{i_{3}}{i_{2}}\)   

Vân sáng gần vân trung tâm O nhất ứng với cặp k₂ = 3 và k₃ = 4.

Khi đó, tọa độ trùng nhau là x = x_s3(λ₂) = x_s4(λ₃) = 3i₂ = 4i₃ =1,152 (mm).

Ví dụ 3: Trong thí nghiệm giao thoa khe I-âng, a = 1,2 mm; D = 1,5 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ màu lam có bước sóng 450 nm và màu vàng 600 nm vào khe.

a) Tính khoảng vân của vân màu lam.

b) Trên bề rộng vùng giao thoa 2 cm quan sát được bao nhiêu vân sáng? Bao nhiêu vân màu vàng? Bao nhiêu vân màu lam?

Đ/s: có 9 vân trùng nhau, 35 vân màu lam, 27 vân màu vàng.

Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa khe I-âng, a =1 mm; D = 2 m. Chiếu đồng thời ba bức xạ có bước sóng 450 nm; 600 nm và 750 nm vào khe.

a) Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai vân cùng màu với vân trung tâm.

b) Trên bề rộng vùng giao thoa 3 cm có bao nhiêu vân sáng?

Ví dụ 5: (Khối A – 2003)

Một nguồn sáng điểm nằm cách đều hai khe I-âng và phát ra đồng thời hai bức xạ đơn sắc có λ₁ = 0,6 μm và bước sóng λ₂ chưa biết. Khoảng cách giữa hai khe là a = 0,2 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn là D = 1 m.

a) Tính khoảng vân giao thoa trên màn đối với λ₁.

b) Trong một khoảng rộng L = 2,4 cm trên màn, đếm được 17 vạch sáng, trong đó có 3 vạch là kết quả trùng nhau của hai hệ vân. Tính bước sóng λ₂, biết hai trong 3 vạch trùng nhau nằm ngoài cùng của khoảng L.

Lời giải:

a) Khoảng vân ứng với bước sóng λ₁ thỏa mãn i₁ = \(\frac{\lambda _{1}D}{a}\) = 3 mm

b) Do khoảng cách giữa hai vân sáng kề nhau bằng khoảng vân i, nên nếu trên trường giao thoa rộng L mà có hai vân sáng nằm ở hai đầu thì trường đó sẽ được phủ kín bởi các khoảng vân i, số khoảng vân được cho bởi N = L/i và số vân sáng quan sát được trên trường là N’ = N + 1.

  Số vân sáng đếm được trên trường (các vân trùng nhau chỉ tính một vân) là 17 vân, trong 17 vân này có 3 vạch trùng nhau (hai vạch hai đầu trường, vạch còn lại chính là vân sáng trung tâm O) nên số vân thực tế là kết quả giao thoa của hai bức xạ là 20 vân sáng.

  Số khoảng vân ứng với bước sóng λ₁ là N₁ = L/i₁ = 24/3 = 8 → số vân sáng ứng với λ₁ là N₁’ = 9 vân.

  Khi đó, số vân sáng ứng với bước sóng λ₂ là N₂’ = 20 – 9 = 11 vân, tương ứng có N = N₂’ – 1 = 10 khoảng vân của λ₂

 Từ đó ta được i₂ = \(\frac{L}{N_{2}}=\frac{24}{10}\) = 2,4 (mm) → λ₂ = \(\frac{ai_{2}}{D}=\frac{0,2.2,4}{1}\) = 0,48 (μm).

Ví dụ 6: (Khối A – 2009):

Thực hiện giao thoa với đồng thời hai bức xạ đơn sắc có bước sóng λ₁ = 450 nm và λ₂ = 600 nm. Khoảng cách giữa hai khe là a = 0,5 mm, khoảng cách từ các khe đến màn là D = 2 m. Trên màn quan sát gọi M, N là hai điểm nằm cùng phía với vân sáng trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 5,5 mm và 22 mm. Tính :

a) khoảng cách gần nhất từ vị trí trùng nhau của hai vân đến vân sáng trung tâm O. b) số vị trí trùng nhau của hai bức xạ trên đoạn MN.

c) số vân sáng quan sát được trong khoảng từ vân sáng trung tâm đến vị trí trùng nhau lần thứ hai của hai bức xạ trên.

Lời giải:

a) Các khoảng vân tương ứng với các bức xạ là

 Ta có điều kiện trùng vân là x_s(λ₁) = x_s(λ₂) <=>  k₁i₁  =  k₂i₂ <=>\(\frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{i_{2}}{i_{1}}=\frac{2,3}{1,8}=\frac{4}{3}\)   

Vị trí trùng nhau gần vân trung tâm nhất ứng với k₁ = 4 và k₂ = 3. Vị trí này là x = 4.i₁ = 7,2 (mm).

b) Theo câu a, vị trí trùng nhau lần hai ứng với k₁ = 8 và k₂ = 6, có x = 8i₁ = 14,4 (mm)…

Sử dụng quy nạp ta thấy các lần trùng nhau cách nhau 7,2 (mm). Để tìm số vị trí trùng nhau trong khoảng 5,5mm đến 22 (mm) ta giải bất phương trình 5,5 ≤ 7,2n ≤ 22. Dễ dàng tìm được có 3 giá trị của n là 1, 2, 3. Vậy trong đoạn MN có 3 vị trí trùng nhau của các bức xạ.

c) Theo câu trên, vị trí trùng nhau lần hai của hai bức xạ cách vân trung tâm 14,4 (mm) tương ứng với k₁ = 8 và k₂ = 6, hay vị trí này là vân sáng bậc 8 của bức xạ λ₁ và bậc 6 của bức xạ λ₂, số vân sáng tương ứng của hai bức xạ là N₁’ = 9, N₂’ = 7.

  Do trong khoảng này không tính 4 vân bị trùng ở hai đầu (vân sáng trung tâm và vân trùng lần 2 của hai bức xạ) và một vân trùng lần thứ nhất nên số vân thực tế quan sát được là 11 vân.

Ví dụ 7: (Khối A – 2010):

Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn sáng phát đồng thời hai bức xạ đơn sắc, trong đó bức xạ màu đỏ có bước sóng 720 nm và bức xạ màu lục có bước sóng λ (có giá trị trong khoảng từ 500 nm đến 575 nm). Trên màn quan sát, giữa hai vân sáng gần nhau nhất và cùng màu với vân sáng trung tâm có 8 vân sáng màu lục. Giá trị của λ là

  A. 500 nm.                  B. 520 nm.                C. 540 nm.                D. 560 nm.

Lời giải:

 Từ điều kiện trùng vân ta có k₁λ₁ = k₂λ₂ <=> 720k₁ = k₂λ₂ →\(\lambda _{2}=\frac{720k_{1}}{k_{2}}\)

  Xét trong khoảng từ vân trung tâm đến vân đầu tiên cùng màu với nó, có 8 vân màu lục → vị trí vân cùng màu vân trung tâm đầu tiên ứng với vị trí vân màu lục bậc 9. Từ đó k₂ = 9 → λ₂ = 80k₁

  Mà 500 (nm) ≤ λ₂ ≤ 575 (nm) → k₁ = 7.

Thay vào (1) ta tìm được λ₂ = 560 nm.

Ví dụ 8: Trong thí nghiệm giao thoa khe I-âng nếu chiếu vào ánh sáng đơn sắc có bước sóng 600 nm thì trên một đoạn của màn có chứa 7 vân sáng (vân trung tâm ở chính giữa) còn nếu chiếu hai bức xạ gồm bức xạ trên và bức xạ 400 nm đồng thời thì trên đoạn đó đếm được số vân sáng bằng bao nhiêu?

Đ/s: 13 vân sáng.

Ví dụ 9: Trong thí nghiệm giao thoa khe I-âng, a = 1 mm; D = 2 m. Chiếu vào hai khe đồng thời hai bức xạ λ₁ = 600 nm và λ₂. Trong bề rộng vùng giao thoa L = 2,4 cm đếm được 33 vân sáng, trong đó có 5 vân là kết quả trùng nhau của hai hệ vân, biết hai trong 5 vân trùng nhau nằm ngoài cùng của vùng giao thoa. Xác định λ₂?

Đ/s: λ₂ = 0,75 μm.

Ví dụ 10: Trong thí nghiệm giao thoa khe I-âng chiếu đồng thời hai bức xạ λ₁ và λ₂ với khoảng vân thu được trên màn của hai bức xạ 0,48 mm và 0,64 mm. Xét hai điểm A, B trên màn cách nhau 6,72 mm. Tại A cả hai bức xạ đều cho vân sáng, tại B thì λ₁ cho vân sáng, λ₂ cho vân tối. Trên đoạn AB quan sát được 22 vân sáng.

a) Xác định số vân là kết quả trùng của hai bức xạ trên đoạn AB

b) Xác định số vân của từng bức xạ trên AB.

Đ/s: có 4 vân trùng, 15 vân sáng của bức xạ một, 11 vân sáng của bức xạ hai.

TRẮC NGHIỆM BÀI TOÁN TRÙNG VÂN – PHẦN 1

Câu 1: Ánh sáng được dùng trong thí nghiệm giao thoa gồm 2 ánh sáng đơn sắc ánh sáng lục có bước sóng λ₁ = 0,50 μm và ánh sáng đỏ có bước sóng λ₂ = 0,75 μm. Vân sáng lục và vân sáng đỏ trùng nhau lần thứ nhất (kể từ vân sáng trung tâm) ứng với vân sáng đỏ bậc

  A. 5.                            B. 6.                          C. 4.                          D. 2.

Câu 2: Trong thí nghiệm I-âng, cho a = 2 mm, D = 2 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,4 μm và λ₂ = 600 nm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở khác phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 14,2 mm và 5,3 mm. Số vân sáng có màu giống vân trung tâm trên đoạn MN là

  A. 15.                          B. 17.                        C. 13.                        D. 16.

Câu 3: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng nhờ khe I-âng, 2 khe hẹp cách nhau 1,5 mm. Khoảng cách từ màn E đến 2 khe là D = 2 m, hai khe hẹp được rọi đồng thời 2 bức xạ đơn sắc có bước sóng lần lượt là λ₁ = 0,48 μm và λ₂ = 0,64 μm. Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa vân trung tâm và vân sáng cùng màu với vân trung tâm?

  A. 2,56 mm.                B. 1,92 mm.              C. 2,36 mm.              D. 5,12 mm.

Câu 4: Trong thí nghiệm I-âng, cho a = 1,5 mm, D = 1,2 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,45 μm và λ₂ = 600 nm. Trên màn quan sát đối xứng có bề rộng 1,2 cm thì số vân sáng quan sát được là

  A. 51.                          B. 49.                        C. 47.                        D. 57.

Câu 5: Trong thí nghiệm I-âng, chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,45 μm và λ₂ = 0,6 μm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm nằm cùng một phía so với vân trung tâm. Biết tại điểm M trùng với vị trí vân sáng bậc 3 của bức xạ λ₁; tại N trùng với vị trí vân sáng bậc 11 của bức xạ λ₂. Tính số vân sáng quan sát được trên đoạn MN ?

  A. 24.                          B. 17.                        C. 18.                        D. 19.

Câu 6: Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng khoảng cách giữa hai khe là a = 1 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn là 2 m. Nếu chiếu đồng thời hai bức xạ đơn sắc có bước sóng λ₁ = 0,6 μm và λ₂ = 0,5 μm thì trên màn có những vị trí tại đó có vân sáng của hai bức xạ trùng nhau gọi là vân trùng. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân trùng.

  A. 0,6 mm.                  B. 6 mm.                   C. 0,8 mm.                D. 8 mm.

Câu 7: Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng hai khe cách nhau 1 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn là 2 m. Nếu chiếu đồng thời hai bức xạ đơn sắc có bước sóng λ₁ = 0,6 μm và λ₂ thì thấy vân sáng bậc 3 của bức xạ λ₂ trùng với vân sáng bậc 2 của bức xạ λ₁. Tính λ₂.

  A. 0,4 μm.                   B. 0,5 μm.                 C. 0,48 μm.               D. 0,64 μm.

Câu 8: Trong thí nghiệm I-âng, cho a = 2 mm, D = 2 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,4 μm và λ₂ = 600 nm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở khác phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 14,2 mm và 5,3 mm. Số vân sáng quan sát được trên MN của hai bức xạ là

  A. 71.                          B. 69.                        C. 67.                        D. 65.

Câu 9: Chiếu sáng các khe I-âng bằng đèn Na có bước sóng λ₁ = 420 nm ta quan sát được trên màn ảnh có 8 vân sáng, mà khoảng cách giữa tâm hai vân ngoài cùng là 3,5 mm. Nếu thay thế đèn Na bằng nguồn phát bức xạ có bước sóng λ₂ thì quan sát được 9 vân, khoảng cách giữa hai vân ngoài cùng là 7,2 mm. Xác định bước sóng λ₂

  A. λ₂ = 560 nm.           B. λ₂ = 450 nm.         C. λ₂ = 480 nm.         D. λ₂ = 432 nm.

Câu 10: Trong thí nghiệm I-âng, chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,45 μm và λ₂ = 0,6 μm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm nằm ở hai phía so với vân trung tâm. Biết tại điểm M trùng với vị trí vân sáng bậc 9 của bức xạ λ₁; tại N trùng với vị trí vân sáng bậc 14 của bức xạ λ₂. Tính số vân sáng quan sát được trên đoạn MN ?

  A. 42.                          B. 44.                        C. 38.                        D. 49.

Câu 11: Trong thí nghiệm I-âng, cho a = 1,5 mm, D = 1,2 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,45 μm và λ₂ = 600 nm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở khác phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 4,3 mm và 8,1 mm. Số vân sáng có màu giống vân trung tâm trên đoạn MN là

  A. 8.                            B. 7.                          C. 11.                        D. 9.

Câu 12: Trong thí nghiệm I-âng về giao thoa ánh sáng, cho khoảng cách giữa hai khe là 1 mm, khoảng cách từ 2 khe đến màn là 1 m. Người ta chiếu vào 2 khe đồng thời hai bức xạ λ₁ = 0,4 μm và λ₂. Trên màn người ta đếm được trong bề rộng L = 2,4 mm có tất cả 9 cực đại của λ₁ và λ₂ trong đó có 3 cực đại trùng nhau, biết 2 trong số 3 cực đại trùng ở 2 đầu. Giá trị λ₂ là

  A. λ₂ = 0,6 μm.            B. λ₂ = 0,48 μm.        C. λ₂ = 0,54 μm.        D. λ₂ = 0,5 μm.

Câu 13: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với hai khe I-âng. Khoảng cách giữa hai khe là a = 1 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn D = 2 m. Nguồn sáng S phát đồng thời hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ₁ = 0,40 μm và λ₂ với 0,50 μm ≤ λ₂ ≤ 0,65 μm. Tại điểm M cách vân sáng trung tâm 5,6 mm là vị trí vân sáng cùng màu với vân sáng chính giữa. Bước sóng λ₂ có giá trị là

  A. 0,56 μm.                 B. 0,60 μm.               C. 0,52 μm.               D. 0,62 μm.

Câu 14: Trong thí nghiệm I-âng, cho a = 1,5 mm, D = 1,2 m. Chiếu đồng thời hai bức xạ có bước sóng λ₁ = 0,45 μm và λ₂ = 600 nm. Trên màn quan sát, gọi M, N là hai điểm ở khác phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 4,3 mm và 8,1 mm. Số vân sáng quan sát được trên MN của hai bức xạ là

  A. 46.                          B. 49.                        C. 47.                        D. 51.

Câu 15 : Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với khe I-âng, khoảng cách giữa hai khe là 2 mm, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là 1,2 m. Chiếu sáng hai khe bằng ánh sáng hỗn hợp gồm hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng 500 nm và 660 nm thì thu được hệ vân giao thoa trên màn. Biết vân sáng chính giữa (trung tâm) ứng với hai bức xạ trên trùng nhau. Khoảng cách từ vân chính giữa đến vân gần nhất cùng màu với vân chính giữa là

  A. 9,9 mm.                  B. 19,8 mm.              C. 29,7 mm.              D. 4,9 mm.