Giao thoa với hai nguồn ánh sáng đơn sắc khác nhau

GIAO THOA VỚI HAI NGUỒN ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC KHÁC NHAU 

Nhận  xét:  Khi chùm đa sắc gồm nhiều bức xạ chiếu vào khe I âng để tạo ra giao thoa. Trên màn quan sát được hệ vân giao thoa của các bức xạ trên. Vân trung tâm là sự chồng chập của các vân sáng bậc k = 0 của các bức xạ này. Trên màn thu được sự chồng chập:

                           +Của các vạch sáng trùng nhau,

                           +Các vạch tối trùng  nhau

                           +Hoặc vạch sáng trùng vạch tối giữa các bức xạ này.

Dạng 1: Vị trí vân sáng trùng: Vị trí vân sáng của 2 bức xạ đơn sắc trùng nhau:

 x = \(k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\)  Vì củng a và D => \(k_{1}i_{1}=k_{2}i_{2}\Rightarrow k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}\) với \(k_{1},k_{2}\in Z\)

\(\Rightarrow \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda 2}{\lambda _{1}}=\frac{p}{q}=\frac{np}{nq}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k_{1}=0;\pm p;\pm 2p;\pm 3 p... \\ k_{2}=0;\pm p;\pm 2p;\pm 3 p... \end{matrix}\right.\)

- Khoảng cách ngắn nhất giữa 2 vân trùng:

Tại vị trí có k₁ = k₂ = 0 là vân trùng trung tâm, do đó khoảng cách gần nhau nhất giữa hai vân trùng đúng bằng khoảng cách từ vân trùng trung tâm đến vân trùng bậc 1 của cả 2 ánh sáng đơn sắc:

                      \(D_{X}=k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}\)  với \(k\in N\) nhỏ nhất \(\neq 0\)

Ví dụ 1: Thí nghiệm Young về giao thoa cho a=1mm, D=2m, hai bức xạ λ₁=0,6mm và λ₂ =0,5mm cho vân sáng trùng nhau. Xác định vị trí trùng nhau.

Ta có: k₁λ₁=k₂λ₂  \(k_{1}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}k_{2}=\frac{5}{6}k_{2}\Leftrightarrow \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{5}{6}=\frac{p}{q}\)  ( tỉ số tối giản) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k_{1}=5n \\ k_{2}=6n \end{matrix}\right.\)

Vì  k₁, k₂ là các số nguyên, nên ta chọn được k₂ là bội của 6 và k₁ là bội của 5

          Có thể lập bảng như sau:

Dạng 2: Khoảng vân trùng (khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vân cùng màu với vân trung tâm):

          \(i_{12}=mi_{1}=ni_{2}=...\)

hoặc:   \(i_{12}=BCNN(i_{1}i_{2})\)              

Cách tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) và Ước chung lớn nhất (UCLN)

Phương Pháp chung : Cho hai số a và b. Để tìm BCNN(a,b) và UCLN(a,b) và ta làm như sau:

Ta lấy a/b = c/d (c/d là phân số tối giản của a/b). Để tìm BCNN ta lấy a*d, để tìm UCLN ta lấy a/c

Ví dụ: Tim BCNN và UCLN của 50 va 20

Ta có: \(\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\)   BCNN(50;20)=50*2=100; UCLN(50;20)= \(\frac{50}{5}\) =10.  

Cách tìm Bội chung nhỏ nhất (BCNN) dùng máy VINACAL fx-570ES Plus:

Đặc biệt máy VINACAL fx-570ES Plus  có thêm  chức năng SHIFT 6 như sau:

1: Q,r (Chia tìm phần nguyên và dư)

2: LCM ( Tìm bội chung nhỏ nhất: BCNN): The Least Common Multiple hay Lowest Common Multiple)

3: GCD  (Tìm ước chung lớn nhất: UCLN)

4: FACT( phân tích ra thừa số nguyên tố)

Lưu ý: nhập dấu phẩy “,” là phím SHIFT ) và phải nhập số nguyên

Ví dụ: Tìm BCNN của 2 số 4 và 5: SHIFT  6 2  4 , 5  = 20

Hệ vân trùng nhau:  Hai  vân trùng nhau khi: x₁= x₂

Ví dụ 2:  Trong thí nghiệm Iâng về giao thoa ánh sáng. Khoảng cách giữa hai khe là a = 1mm. Khoảng cách từ hai khe đến màn là D =2m .Người ta chiếu đồng thời hai bức xạ đơn sắc có bước sóng \(\lambda _{1}=0,5(\mu m)\) và \(\lambda _{2}=0,4(\mu m)\)Xác định hai vị trí đầu tiên trên màn (kể từ vân trung tâm) tại đó hai vân sáng trùng nhau.

Giải : Vị trí hai vân sáng ứng với hai bức xạ  và  trên màn là: 

    \(X_{1}=k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a};X_{2}=X_{2}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\) (1)

 Hai vân sáng trên trùng nhau khi :   x₁= x_{2 \(\Leftrightarrow k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\Leftrightarrow k_{1}\lambda _{1}=k_{2}\lambda _{2}\Leftrightarrow k_{2}\lambda _{2}\Leftrightarrow k_{2}=k_{1}\frac{\lambda _{1}}{\lambda _{2}}=\frac{5}{4}k_{1}(2)\)}       

k₁ và k₂ là hai số nguyên nên (2) thoả mãn khi k₁ là bội số của 4, tức là k₁ =4; 8; 12;16; 20;24 … \(\Rightarrow\) Vị trí trùng nhau lần đầu tiên và lần tiếp theo  (trừ vân trung tâm) ứng với k₁ = 4 và k₂ =8 .

Vị trí đó là x₁ = \(k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a}\) = 4.10^-3(m) =4(mm) và x₂ = \(k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\) = 8.10^-3(m) = 8(mm)

Bài tập vận dụng :Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng (khe I-âng) dùng ánh sáng có bước sóng λ = 0,75 μm thì tại vị trí M trên màn, cách vân trung tâm 3,75 mm là vân sáng bậc 5. Thay ánh sáng trên bằng ánh sáng đơn sắc khác có bước sóng λ’ thì thấy tại M là vân tối thứ 8 (tính từ vân trung tâm). Bước sóng λ’ bằng?  Đ/s:0,5 μm.

Dạng 3:  Số vạch sáng, số vạch trùng quan sát được.

 Loại 1: Số vạch sáng quan sát được:

Khi có giao thoa: Vị trí vân sáng: \(X_{k}^{i}=ki=k\frac{\lambda D}{a}\)

Khi 2 vân sáng của 2 bức xạ trùng nhau:

 \(X_{s_{h1}}^{k1}=X_{s_{h2}}^{k2}\Leftrightarrow k_{1}i_{1}=k_{2}i_{2}\Leftrightarrow k_{1}\frac{\lambda _{1}D}{a}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\)

_{\(\Leftrightarrow \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{p}{q}\)} ( Khi nhập vào máy tinh FX570ES sẽ có tỉ số tối giản) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k_{1}=pn \\ k_{2}=qn \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Vị trí trùng: \(X_{\equiv }=np\frac{\lambda _{1}D}{a}\)   hoặc \(X_{\equiv }=nq\frac{\lambda _{2}D}{a}\)

   + Số vạch trùng quan sát được trên trường giao thoa L:

 \(-\frac{L}{2}\leq X_{\equiv }\leq \frac{L}{2}\Leftrightarrow -\frac{L}{2}\leq pn\frac{\lambda _{1D}}{a}\leq \frac{L}{2}\Leftrightarrow -\frac{aL}{2p\lambda _{1}D}\leq n\leq \frac{aL}{2p\lambda _{1}D}\)  (*)

           Mỗi giá trị n\(\rightarrow\)1 giá trị k \(\Rightarrow\)số vạch sáng trùng là số giá trị n thỏa mãn (*).

 + Xét số vân trùng trên MN \(\in\) L:

 (\(X_{M}\leq X_{\equiv }\leq X_{N}\); \(X_{M}< X_{N}\); X là tọa độ) khoảng n \(\Rightarrow\)số giá trị n là số vân sáng trùng thuộc đoạn MN.

  Chú ý: Nếu M,N là vân sáng trùng dùng \(\Rightarrow\) dấu " = ".

+ Số vạch quan sát được trên trường L:    \(N_{S_{q.S/L}}=N_{S_{\lambda _{1}/L}}+N_{S_{\lambda _{2}/L}}-N_{S_{\equiv }/L}\)

+ Số vạch quan sát được trên \(\overline{MN}\) \(\in\) \(L\):   \(N_{S_{q.S/MN}}=N_{S_{\lambda _{1}/MN}}+N_{S_{\lambda _{2}/MN}}-N_{S_{\equiv }/MN}\)

                 ( Nhớ chú ý M,N có phải là vân sáng trùng không )

Ví dụ 3:  Trong thí nghiệm về giao thoa ánh sáng qua khe I- Âng có a = 2mm D =2m, nguồn sáng gồm hai bức xạ \(\lambda _{1}=0,5(\mu m);\lambda _{2}=0,4(\mu m)\). Tìm số vân sáng quan sát được trên trường giao thoa ? Biết bề rộng của trường giao thoa là L = 13 mm.

Giải: Ta có : \(N_{S_{q.S/L}}=N_{S_{\lambda _{1}/L}}+N_{S_{\lambda _{2}/L}}-N_{S_{\equiv }/L}\)

Với \(i_{1}=\frac{\lambda _{1}D}{a}=\frac{0,5.10^{-6}.2}{2.10^{-3}}=0,05(mm)\Rightarrow N_{S_{\lambda _{1}/L}}=2\frac{L}{2i_{1}}+1=27\) ( vân)

      \(i_{2}=\frac{\lambda _{2}D}{a}=\0,04(mm)\Rightarrow N_{S_{\lambda _{2}/L}}=2\frac{L}{2i_{2}}+1=33\) ( vân)

 + \(X_{\equiv }={k_{1}}{}\frac{\lambda _{1}D}{a}=k_{2}\frac{\lambda _{2}D}{a}\Rightarrow \frac{k_{1}}{k_{2}}=\frac{\lambda _{2}}{\lambda _{1}}=\frac{0,4}{0,5}=\frac{4}{5}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}k_{1}=4n \\ k_{2}=5n \end{matrix}\right.\Rightarrow\) \(X_{\equiv }=2n(mm)\)

    \(-\frac{L}{2}\leq X_{\equiv }\leq \frac{L}{2}\Leftrightarrow -\frac{13}{2}\leq 2n\leq \frac{13}{2}\) \(\Rightarrow -3,25\leq n\leq 3,25\Rightarrow n=0;\pm 1;\pm 2;\pm 3\)

có 7 vân sáng trùng nhau. N_s = 7N_s = 33+27-7 = 53 (vân).

+ Bậc trùng nhau của từng bức xạ và vị trí trung nhau:\(\Rightarrow N_{S_{\equiv }}=7\Rightarrow N_{S_{qs/L}}=33+27-7=53\) (vân)

bài tập trên; Tìm khoảng cách giữa 2 vân sáng trùng nhau gần nhau nhất?

Nhận xét: Khoảng cách giữa 2 vân sáng trùng nhau liên tiếp là như nhau và là 4i₁ hay 5i₂.

                 Trong bài này là X_{S trùng liên tiếp}= 8i₁ – 4i₁ = 4i₁ = 4.0,5 = 2mm.

Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với khe Young, ánh sáng được dùng làm thí nghiệm gồm có hai thành phần đơn sắc có bước sóng \(\lambda _{1}\) = 0,6µm (vàng) và \(\lambda _{2}\) = 0,75µm (đỏ). Khoảng cách giữa hai khe là a=1mm, khoảng cách từ hai khe đến màn là D=2m.

a. Mô tả hình ảnh quan sát được trên màn:

+ Nếu dùng riêng ánh sáng đơn sắc vàng thì trên màn thu được hệ vân vàng.

+ Nếu dùng riêng ánh sáng đơn sắc đỏ thì trên màn thu được một hệ vân đỏ.

+ Khi dùng cả hai bức xạ trên thì trên màn thu được đồng thời cả hệ vân đỏ và hệ vân vàng.

Vân trung tâm của hai hệ vân này trùng nhau, tạo ra màu tổng hợp của đỏ và vàng, gọi là vân trùng.

Ngoài vân trung tâm là vân trùng, còn có các vị trí khác nhau cũng là vân trùng (ví dụ như tại M) .

Vậy trên màn xuất hiện 3 loại vân khác nhau: màu đỏ, màu vàng và màu tổng hợp của đỏ và vàng.

b.Xác định khoảng cách từ vân sáng trung tâm đến vân sáng gần nhất cùng màu với nó:

-Áp dụng công thức tính khoảng vân giao thoa, ta tính được: i₁ = 1,2mm và i₂ = 1,5mm.

-Trên hình vẽ, khoảng vân trùng có độ dài bằng đoạn OM.

OM là bội số của i₁; OM là bội số của i₂.Vậy OM chính là bội số chung nhỏ nhất của i1 và i2. itrung = BSCNN(i1, i2 )

-Muốn tìm i_trùng, ta cần tính i₁ và i₂. Sau đó tính bội số chung nhỏ nhất(BCNN) của chúng.

-Để tính bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số, ta có thể:

+ Phương Pháp chung : cho 2 số a và b. Để tìm BCNN(a,b)  và UCLN(a,b) và ta làm như sau: Ta lấy a/b= c/d (c/d la phân số tối giản của a/b). Để tìm BCNN ta lấy a*d, để tìm UCNN ta lấy a/c.

Ví dụ: Tim BCNN và UCLN của 50 va 20

Ta có: \(\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\)   BCNN(50;20) = 50*2 = 100; UCLN(50;20) = \(\frac{50}{5}\) = 10.  

Bài tập trên: Tim UCLN, BCNN của 1,2 và 1,5

Nhập máy tính (Fx570ES): 1 . 2 : 1 . 5  =  kết quả: 4 : 5. Sau đó lấy 1.2 X 5 = 6 

Vậy: BCNN(1,2, 1,5) =1,2*5= 6

Hoặc DÙNG MÁY TÍNH VINA CAL 570ES PLUS:

MODE  6  2 : (LCM)

Lưu ý: Nhập dấu phẩy “,”  là phím SHIFT  )  và phải nhập số nguyên

Nhập 12 , 15   =  kết quả: 60 sau đó chia 10  bằng 6

Hoặc Tính BCNN  bằng cách phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố

 Ta có: \(1,2=2^{2}.3.0,1\)         

           1,5  =  3.5. 0,1

Bội số chung nhỏ nhất của 1,2 và 1,5 là: \(2^{2}.3.0,1.5=6\). Vậy khoảng vân trùng trong bài toán này là i_trùng = 6mm.

Khoảng cách từ vân trung tâm đến vân gần nhất cùng màu với nó là OM = 6mm. 

c .Xác định số vân sáng quan sát được trên đoạn ON = 17,65mm (Không tính vân sáng trung tâm).

- Ở trên, ta có khoảng vân màu vàng:  i₁ = 1,2mm, màu đỏ ( i₂  = 1,5mm) khoảng vân trùng (i_trùng = 6mm).

- Nếu làm thí nghiệm với từng màu, ta tính được:

+ Số vân vàng trên đoạn ON là 14.(là phần nguyên của thương số 17,65/1,2)

+ Số vân đỏ trên đoạn ON là 11.( là phần nguyên của thương số : 17,65/1,5)

- Nếu các vân vàng và đỏ trên, không có vân nào trùng nhau, thì tổng số vân trong đoạn ON sẽ là:

              14 + 11= 25 vân sáng.

- Tuy nhiên, do có một số vân đỏ và vàng trùng nhau tại một vị trí, sinh ra vân trùng (2 vân sáng mới tạo ra một vân trùng) nên số vân quan sát được trên màn sẽ không phải là 25 mà là:

             25 – Ntrùng  ( với Ntrùng là số vân trùng trong đoạn ON)

- Ta cũng dễ dàng tính được số vân trùng trên đoạn ON là 2 ( Là phần nguyên của thương số 17,65/6)

- Vậy tổng số vân sáng quan sát được trên đoạn ON là: 25 – 2 = 23 vân sáng.