Năng lượng dao động điện từ ( hay)

NĂNG LƯỢNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ 

1. Kiến thức cơ bản

I. Năng lượng trong dao động điện từ ( phần 1)

1. Năng lượng của mạch LC.

    Năng lượng mạch LC. W = W_đ + W_t

       Trong đó:

- W: Năng lượng mạch dao động (J)

- W_đ: Năng lượng điện trường (J) tập trung ở tụ điện

     W_đ = \(\frac{1}{2}\) Cu² = \(\frac{1}{2}\) qu = \(\frac{q^{2}}{2C}=\frac{Q^{2}}{2C}\) .cos²ωt

     => W_đmax = \(\frac{1}{2}C{U_{0}}^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}\)

- W_t: Năng lượng từ trường (J) tập trung ở cuộn dây.

     W_t =\(\frac{1}{2}\) Li² =\(\frac{1}{2}\) Lω²Q²sin²(ωt)

  =>  W_tmax = \(\frac{1}{2} L{I_{0}}^{2}\)

W = W_đ + W_t  = W_đmax = \(\frac{1}{2}C{U_{0}}^{2}=\frac{Q^{2}}{2C}\)  = W_tmax = \(\frac{1}{2} L{I_{0}}^{2}\) \(=\frac{1}{2}C{u_{1}}^{2}+\frac{1}{2}L{i_{1}}^{2}=\frac{1}{2}qu+\frac{1}{2}Li^{2}=\frac{q^{2}}{2C}+\frac{Li^{2}}{2}\)

Vậytrong mạch dao động LC thì năng lượng có thể chuyển hóa qua lại giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng là năng lượng điện từ luôn được bảo toàn.

Nhận xét :

 Từ các công thức tính ở trên ta thấy năng lượng điện từ bằng năng lượng từ trường cực đại và cũng bằng năng lượng điện trường cực đại .

Khi đó ta có:

      Cũng giống như động năng và thế năng của dao động cơ, nếu mạch dao động biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T, tần số f thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số là 2f  và chu kỳ là T/2.

       Để tính các giá trị  tức thời (u,i) ta dựa vào phương trình bảo toàn năng lượng :

Để tính các giá trị tức thời (I, q ) ta dực vào hệ thức :

2. Công thức xác định công suất mất mát của mạch LC (năng lượng cần cung cấp để duy trì mạch LC)

    ∆P = P = RI² = \(\frac{R{I_{0}}^{2}}{2}\)

II – Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 : Mạch dao động lý tưởng gồm tụ điện có điện dung C = 1 (µF) và cuộn dây có độ tự cảm L =1 (mH). Trong quá trình dao động , cường độ dòngđiện qua cuộn dây có độ lớn nhất là 0,05 (A) . Sau bao lâu thì hiệu điện thế  giữa hai bản tụ có độ lớn lớn nhất, độ lớn đó bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

  Thời gian từ lúc cường độ dòng điện đạt cực đại đến lúc hiệu điện thế đạt cực đại là T/4 ( T là chu kỳ dao động riêng của mạch ). Vậy thời gian cần tìm là :

∆t = \(\frac{1}{4}.2\pi \sqrt{LC}=\frac{1}{2}\sqrt{10^{-6}.10^{-2}}=1,57.10^{-4}(s)\).

    Bảo toàn năng lượng ta được: \(\frac{1}{2}C{U_{0}}^{2}=\frac{1}{2}L{I_{0}}^{2} \rightarrow U_{0}=I_{0}\sqrt{\frac{L}{C}}=0,05.\sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-6}}}=5(V)\)

Ví dụ 2: Mạch dao động LC có cường độ dòng điện cực đại I₀ =10 (mA) , điện tích cực đại cảu tụ điện là Q₀=4.10^-8 (C).

a)     Tính tần số dao động riêng của mạch.

b)    Tính hệ số tự cảm của cuộn dây, biết điện dung của tụ C =800(pF).

Hướng dẫn giải:

a)     Ta có I₀ =ωQ₀ \(\rightarrow \omega =\frac{I_{0}}{Q_{0}}=\frac{10.10^{-3}}{4.10^{-8}}=2,5.10^{5}\)(rad/s)

Từ đó tần số dao động riêng của mạch là f = \(\frac{\omega }{2\pi }=\frac{2,5.10^{5}}{2\pi }=40000(Hz)\).

b)    Từ phương trình bảo toàn năng lượng

\(\frac{{Q_{0}}^{2}}{2C}=\frac{1}{2}L{I_{0}}^{2}\rightarrow L\frac{1}{C}(\frac{Q_{0}}{I_{0}})^{2}=\frac{1}{800.10^{-12}}.(\frac{4.10^{-8}}{10.10^{-3}})^{2}=0,02(H)\)

Vậy hẹ số tự cảm của cuộn dây là :L=0,02 (H)

Ví dụ 3 : Mạch dao động LC lí tưởng dao động với chu kì riêng T=10^-4 (s) , hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ U₀=10 (V) , cường độ dòng điện cực đại qua cuộn dây là I₀=0,02 (A). Tính điện dung của tụ điện và hệ số tự cảm của cuộn dây.

Hướng dẫn giải:

    Bảo toàn năng lượng ta được

    Theo giả thiết 

Từ (1) và (2) ta có:

Ví dụ 4: Mạch dao độngLC gồm tụ C = 6(µF) và cuộn cảm thuần . Biết giá trị cực đại của điện áp giữa hai đầu của tụ điện là U₀ =14V. Tại thời điểm điện áp giữa hai bản tụ là u=8V, năng lượng từ trường trong mạch bằng

A.W_L=588 µJ                  B. W_L=396 µJ            C. W_L=39,6 µJ          W_L=58,8 µJ  

 Hướng dẫn giải:

  Bảo toàn năng lượng ta được

Thay số ta được năng lượng từ trường trong mạch là: \(W_{L}=\frac{1}{2}.6(14^{2}-8^{2})=396\mu J\)

Ví dụ 5: Tại thời điểm cường độ dòng điện qua cuộn dây trong một mạch dao động có độ lớn là 0,1(A) thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện cảu mạch là 3(V). Tần số dao động riêng của mạch là 1000 (Hz) . Tính các giá trị cực đại cảu điện tích trên tụ điện ,  hiệu điện thế hai đầu cuộn dây và cường độ dòng điện qua cuộn dây, biết điện dung của tụ điện 10 (µF ).      

Ví dụ 6:  Một mạch dao động LC, cuộn dây có độ tự cảm L=2(mH) và tụ điện có điện dung C =0,2 (µF). Cường độ dòng điện  trong cuộn cảm là I₀ =0,5 (A) .Tìm năng lượng của mạch dao động và hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện ở thời điểm dòng điện qua cuộn cảm có cường độ i=0,3(A). Bỏ qua những mất mát năng lượng trong quá trình dao động.

Hướng dẫn giải:

  Năng lượng điện từ của mạch :W= \(\frac{1}{2}L{I_{0}}^{2}=\frac{1}{2}.2.10^{-3}.0,5^{2}=0,25.10^{-3}(J)\)

  Mặt khác ta cũng có

Ví dụ 7:  Cường độ dòng điện tức thời trong một mạch dao động LC lí tưởng là i=0,08cos(2000t)A. Cuộn dây có độ tự cảm L =50(mH).

a)     Hãy tính điện dung của tụ điện

b)    Xác định hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện tại thời điểm cường độ dòng điện tức thời trong mạch bằng giá trị cường độ dòng điện hiệu dụng.

Hướng dẫn giải:

a)     Từ giả thiết ta có: 

b)    Bảo toàn năng lượng ta được  \(\frac{1}{2}Li^{2}+\frac{1}{2}Cu^{2}=\frac{1}{2}LI_{0}^{2}\)

Tại thời điểm 

Ví dụ 8:  Mạch dao động LC có L= 1,6.10^-4(H) ,C=8µF ,R 0. Cung cấp cho mạch một công suất P=0,625 (mW) thì duy trì hiệu điện thế cực đại ở hai bản cực tụ là U_max =5V .Điện trở thuần của mạch là:

Ví dụ 9: Một mạch dao động gồm một tụ điện có C=3500pF và cuộn dây có độ tự cảm L=30µH , điện trở thuần R=1,5Ω. Hiệu điện thế cực đại ở hai đầu tụ điện là 15V. Phải cung cấp cho mạch công suất bằng bao nhiêu để duy trì dao động của nó?

II. Năng lượng trong dao động điên từ ( Phần 2)

1. 1.     Một số kiến thức cơ bản

Các đại lượng tương tự nhau của dao động cơ và dao động điện từ thể hiện qua bảng sau:

 Từ đó ta có một số các cặp (i,q) liên hợp:

2.     Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Mạch dao động điện từ LC có điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện là Q₀, cường độ dòng điện cực đại trong mạch là I₀ . Tìm khoảng thời gian ngắn nhất

a)     Từ khi bắt đầu phóng điện đến khi cường độ dòng điện qau cuộn dây cực đại.

b)    Từ thời điểm mà năng lượng điện trường cực đại đến thời điểm năng lượng điện trường bằng 3 lần năng lượng từ trường.

c)     Từ thời điểm năng lượng từ trường cực đại đến thời điểm năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường.

d)    Từ thời điểm năng lượng từ trường bằng ba lần năng lượng điện trường đến thời điểm năng lượng từ trường cực đại.

Hướng dẫn giải

a)     Tụ bắt đầu phóng điện thì q=Q₀ , cường độ dòng điện cực đại thì i=I₀ < => q=Q₀

Khi đó ta được ∆t : (q=Q₀ => q=0)  ∆t= \(\frac{T}{4}=\frac{2\pi \sqrt{LC}}{4}=\frac{\pi \sqrt{LC}}{2}\)

b)    Năng lượng điện trường cực đại tức q=Q₀

Khi năng lượng điện trường bằng 3 lần năng lượng từ trường thì

Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn ∆t :

c)     Năng lượng từ trường cực đại tức i=I₀ < => q=0

Khi năng lượng điện trường bằng năng lượng từ trường thì

Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn ∆t :

d)    Khi năng lượng từ trường bằng ba lần năng lượng điện trườngthì

W_L = 3W_C = \(\frac{3}{4}W\Leftrightarrow i^{2}-\frac{3}{4}{I_{0}}^{2}\rightarrow i=\pm \frac{I_{0\sqrt{3}}}{2}\)

Năng lượng từ trường cực đại tức i=I₀

Khi đó thời gian ngắn nhất cần tìm thỏa mãn ∆t :

Ví dụ 2: Mạch dao động LC có L= \(\frac{10^{-2}}{\pi }\) \(,C=\frac{1}{\pi }(\mu F)\)  Bỏ qua điện trở dây nối. Tích điện cho tụ điện đến giá trị cực đại Q₀ , trong mạch có dao động điện từ riêng.

a)     Tính tần số dao động cảu mạch .

b)    Khi năng lượng điện trường ở tụ điện bằng năng lượng từ trường ở cuộn dây thì điện tích trên tụ điện bằng bao nhiêu phần trăm Q₀ ?

Hướng dẫn giải:

a)     Tần số dao động riêng của mạch là \(f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi .\sqrt{\frac{10^{-2}}{\pi }.\frac{10^{-6}}{\pi }}}=5000(Hz)\)

b)    Khi năng lượng điện trường ở tụ điện bằng năng lượng từ trường ta có: