Lý thuyết và bài tập về năng lượng của mạch dao động điện từ

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ NĂNG LƯỢNG CỦA MẠCH DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ

1) Năng lượng điện trường, (W_C)

    Là năng lượng tích lũy trong tụ điện, tính bởi công thức W_C = \(\frac{1}{2}\)Cu² = \(\frac{q^{2}}{2C}\)

2) Năng lượng từ trường, (W_L)

    Là năng lượng tích lũy trong cuộn cảm, tính bởi công thức: W_L =\(\frac{1}{2}\) Li²

3) Năng lượng điện từ, (W)

    Là tổng của năng lượng điện trường và năng lượng từ trường, cho bởi

4) Sự bảo toàn năng lượng điện từ của mạch dao động điện từ lí tưởng

Vậy trong mạch dao động LC thì năng lượng có thể chuyển hóa qua lại giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng là năng lượng điện từ luôn được bảo toàn.

Nhận xét:

* Từ các công thức tính ở trên ta thấy năng lượng điện từ bằng năng lượng từ trường cực đại và cũng bằng năng lượng điện trường cực đại.

Khi đó ta có 

* Cũng giống như động năng và thế năng của dao động cơ, nếu mạch dao động biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T, tần số f thì năng lượng điện trường và năng lượng từ trường biến thiên tuần hoàn với tần số là 2f và chu kỳ là T/2.

* Để tính các giá trị tức thời (u, i) ta dựa vào phương trình bảo toàn năng lượng:

* Để tính các giá trị tức thời (i, q) ta dựa vào hệ thức liên hệ:

Từ đó ta có một số các cặp (i, q) liên hợp:  

Dạng đồ thị của năng lượng điện trường và từ trường

Các kết luận rút ra từ đồ thị:

- Trong một chu kì có 4 lần động năng bằng thế năng

- Khoảng thời gian giữa hai lần động năng bằng thế năng liên tiếp là T/4

- Từ thời điểm động năng cực đại hoặc thế năng cực đại đến lúc động năng bằng thế năng là T/8

- Động năng và thế năng có đồ thị là đường hình sin bao quanh đường thẳng \(\frac{m\omega ^{2}A^{2}}{4}\)

- Đồ thị cơ năng là đường thẳng song song với trục Ot

Ví dụ 1: (Trích Đề thi CĐ – 2011): Trong mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L, đang có dao động điện từ tự do. Biết hiệu điện thế cực đại giữa hai bản tụ là U₀. Khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ là \(\frac{U_{0}}{2}\) thì cường độ dòng điện trong mạch có độ lớn bằng

    A.  \(\frac{Uo}{2}\sqrt{\frac{3L}{C}}\)                B. \(\frac{Uo}{2}\sqrt{\frac{5C}{L}}\)                  C.  \(\frac{Uo}{2}\sqrt{\frac{5L}{C}}\)                D.\(\frac{Uo}{2}\sqrt{\frac{3C}{L}}\)

Lời giải:

 Ta có: 

Ví dụ 2: Mạch dao động lí tưởng gồm tụ điện có điện dung C = 1 (μF) và cuộn dây có độ từ cảm L = 1 (mH). Trong quá trình dao động, cường độ dòng điện qua cuộn dây có độ lớn lớn nhất là 0,05 (A). Sau bao lâu thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ điện có độ lớn lớn nhất, độ lớn đó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

* Thời gian từ lúc cường độ dòng điện đạt cực đại đến lúc hiệu điện thế đạt cực đại là T/4 (T là chu kì dao động riêng của mạch). Vậy thời gian cần tìm là 

\(∆t = \frac{1}{4}.2\pi \sqrt{LC}=\frac{1}{4}2\pi \sqrt{10^{-6}.10^{-2}}=1,57.10^{-4}(s).\)

* Bảo toàn năng lượng ta được:

\(\frac{1}{2}C{U_{0}}^{2}=\frac{1}{2}L{I_{0}}^{2} \rightarrow U_{0}=I_{0}\sqrt{\frac{L}{C}}=0,05.\sqrt{\frac{10^{-2}}{10^{-6}}}=5(V)\)

Lời giải:

Bảo toàn năng lượng ta được: 

 Thay số ta được năng lượng từ trường của mạch là \(W_{L}=\frac{1}{2}.6(14^{2}-8^{2})=396\mu J\)

Bình luận:

Trong ví dụ trên các em thấy được các đáp án đều để đơn vị của W_L là bội số của μ nên trong phép tính toán ta không cần thiết phải đổi đơn vị của điện dung C ra Fara. Đó là một kĩ năng quan trọng của làm trắc nghiệm: hãy quan sát đáp án để có hướng tính toán hợp lý.

Ví dụ 6: (Trích Đề thi ĐH – 2011)

Một mạch dao động LC lí tưởng gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm 50 mH và tụ điện có điện dung C. Trong mạch đang có dao động điện từ tự do với cường độ dòng điện i = 0,12cos(2000t) (i tính bằng A, t tính bằng s). Ở thời điểm mà cường độ dòng điện trong mạch bằng một nửa cường độ hiệu dụng thì hiệu điện thế giữa hai bản tụ có độ lớn bằng

    A. 3\(\sqrt{14}\) V.                B. 5\(\sqrt{14}\) V.                C. 12\(\sqrt{3}\) V.                D. 6\(\sqrt{2}\) V.

Ví dụ 7: (Trích Đề thi ĐH – 2011)

Trong mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện trường giảm từ cực đại xuống còn một nửa giá trị cực đại là 1,5.10^-4 s. Thời gian ngắn nhất để điện tích trên tụ giảm từ giá trị cực đại xuống còn một nửa giá trị đó là

    A. 4.10^-4 s.                 B. 3.10^-4 s.                 C. 12.10^-4 s.               D. 2.10^-4 s.

III. SỰ TƯƠNG QUAN GIỮA DAO ĐỘNG CƠ VÀ DAO ĐỘNG ĐIỆN TỪ

Các đại lượng tương tự nhau của dao động cơ và dao động điện từ thể hiện qua bảng sau:

Câu 103: Trong mạch dao động bộ tụ điện gômg hai tụ điện C1, C2 giống nhau được cấp một năng lượng 1 μJ từ nguồn điện một chiều có suất điện động 4 V. Chuyển khoá K từ vị trí 1 sang vị trí 2. Cứ sau những khoảng thời gian như nhau 1 μs thì năng lượng trong tụ điện và trong cuộn cảm lại bằng nhau. Xác định cường độ dòng điện cực đại trong cuộn dây?

    A. 0,787A                 B. 0,785A                  C. 0,786A                 D. 0,784A