Bài tập về công suất có lời giải chi tiết

BÀI TẬP VỀ CÔNG SUẤT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài 1 :Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Biết L = CR². Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều ổn định, mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số góc \(\omega _{1}=50\pi\)(rad/s)  và \(\omega _{2}=200\pi(rad/s)\) . Hệ số công suất của đoạn mạch bằng

                  A. \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)  .                               B. \(\frac{1}{2}\) .                             C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) .                       D. a.

Giải: Áp dụng công thức: \(cos\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^{2}}}\)

Do cosφ₁ = cosφ₂ ta có:

Theo bài ra L = CR²  (2)

Từ (1) và (2) ta có: 

đáp án A

Bài 2.Mắc vào đoạn mạch RLC không phân nhánh gồm một nguồn điện xoay chiều có tần số thay đổi được. Ở tần số  f₁=60Hz, hệ số công suất đạt cực đại cos φ =1 . Ở tần số  f₂ =120Hz, hệ số công suất nhận giá trị cos φ =0,707 . Ở tần số f₃=90Hz  hệ số công suất của mạch bằng

                   A. 0,874.                         B. 0,486                         C. 0,625                       D. 0,781

Giải:

Z_L1 = Z_C1 ----> LC = \(\frac{1}{{\omega _{1}}^{2}}\)

cosφ₂ = 0,707 ----->φ₂ = 45⁰ ---->   tanφ₂ = \(\frac{Z_{L2}-Z_{C2}}{R}\) = 1 -----> R = Z_L2 - Z_C2

----> R = ω₂L - \(\frac{1}{\omega _{2}C}=\frac{{\omega _{2}}^{2}LC-1}{\omega _{2}C}\)

Suy ra :cosφ₃ = 0,874.

 đáp án A

Bài3.Cho một mạch điện gồm biến trở R_x mắc nối tiếp với tụ điện có \(C=63,8\mu F\)và một cuộn dây có điện trở thuần r = 70Ω, độ tự cảm \(L=\frac{1}{\pi }H\) . Đặt vào hai đầu một điện áp U=200V có tần số f = 50Hz.  Giá trị của R_x để công suất của mạch cực đại và giá trị cực đại đó lần lượt là

              A. 0Ω ;378,4W                 B. 20 Ω ;378,4W                C. 10Ω ;78,4W               D.30Ω ;100W

Giải:

 Với R = R_x + r = R_x + 70 ≥ 70Ω

 Z_L = 2πfL = 100Ω;  Z_C = \(\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{314.63,8.10^{-6}}=50\Omega\) 

  P = P_max khi mẫu số  y = R + \(\frac{3500}{R}\)  có giá tri nhỏ nhất  với R ≥ 70Ω

  Xét sụ phụ thuộc của y vào R:

  Lấy đạo hàm y’ theo R ta có y’ = 1 - \(\frac{3500}{R^{2}}\);  y’ = 0 -----> R = 50 Ω

Khi R < 50 Ω  thì nếu R tăng y giảm.( vì y’ < 0)

      Khi R > 50Ω thì nếu R tăng thì y tăng’

  Do đó khi R ≥ 70Ω  thì mấu số y có giá trị nhỏ nhất khi R = 70Ω.

  Công suất của mạch có giá trị lớn nhất khi R_x = R – r = 0

  \(P_{cd}=\frac{U^{2}r}{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}=378,4W\)

Chọn đáp án A    R_x = 0, P_cđ = 378,4 W.

đáp án A

Bài 4.Cho mạch điện xoay chiều gồm R,L,C mắc nối tiếp. Tần số của hiệu điện thế thay đổi được. Khi tần số là f₁ và 4f₁ công suất trong mạch như nhau và bằng  80% công suất cực đại mà mạch có thể đạt được. Khi f=3.f₁ thì hệ số công suất là:

                A. 0,894                      B. 0,853                          C. 0,964                        D. 0,47

 Giải:

 P₁ = P₁ -----> I₁ = I₂ -------> Z₁ = Z₂  ------->

(Z_L1 – Z_C1)² = (Z_L2 – Z_C2)².   Do f₂ = 4f₁  ----> Z_L1 – Z_C1 = Z_C2 – Z_L2

Z_L1 + Z_L2 = Z_C1 + Z_C2 ---->2πL(f₁ + f₂) = \(\frac{1}{2\pi C}(\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}})=\frac{1}{2\pi C}\frac{f_{1}+f_{2}}{f_{1}.f_{2}}\) (f₂ = 4f₁)

2πLf₁ = \(\frac{1}{4.2\pi f_{1}C}\)   ----> 4.Z_L1 = Z_C1

Gọi U là điện áp hiệu dụng đặt vào hai dầu mạch

P₁ = I₁²R

P_max = I_max²R

  P₁ = 0,8P_max ---->I₁² = 0,8I_max²

----> \(\frac{U^{2}}{R^{2}+(Z_{L1}-Z_{C1})^{2}}=\frac{0,8U^{2}}{R^{2}}\)----> 0,8(Z_L1 – Z_C1)² =  0,2R²

0,8 (Z_L1- 4Z_L)² = 7,2Z_L1² = 0,2R² -----> Z_L1 = R/6  và Z_C1 = 2R/3

Hệ số công suất của mạch khi f₃ = 3f₁

Z_L3 = 3Z_L1=  R/2

Z_C3 = Z_C1/3 = 2R/9

 Khi f = 3f₁thì cosφ = 0,9635 = 0,964.

 đáp án C   

Bài 5: Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM chỉ có biến trở R, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần r mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt vào AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Điều chỉnh R đến giá trị 80Ω thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại và tổng trở của đoạn mạch AB chia hết cho 40Ω . Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch MB và của đoạn mạch AB tương ứng là

              A. \(\frac{3}{8}\)  và \(\frac{5}{8}\).                        B. \(\frac{33}{118}\) và \(\frac{113}{160}\) .                       C. \(\frac{1}{17}\)và \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) .                       D. \(\frac{1}{8}\). và \(\frac{3}{4}\)

Giải:

đáp án  D.

Bài 6 : Cho đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM nt với MB. Biết đoạn AM gồm R nt với C và MB có cuộn cảm có độ tự cảm L và điện trở r. Đặt vào AB một điện áp xoay chiều u = U \(\sqrt{2}\)cosωt (v). Biết  R = r = \(\sqrt{\frac{L}{C}}\) , điện áp hiệu dụng giữa hai đầu MB lớn gấp n = \(\sqrt{3}\)  điện áp hai đầu AM. Hệ số công suất của đoạn mạch có giá trị là

                 A.0,887                        B. 0,755                        C.0,866                   D. 0,975 

Giải: Vẽ giản đồvéc tơ như hình vẽ

Từ    R = r = \(\sqrt{\frac{L}{C}}\)  ----->

 R² = r² = Z_L.Z_C

  (Vì  Z_L = ωL;  Z_C = \(\frac{1}{\omega C}\) ----> Z_L.Z_C = \(\frac{L}{C}\) )

\({U_{AM}}^{2}={R_{R}}^{2}+{U_{C}}^{2}\)= I²(R² +Z_C²)

\({U_{MB}}^{2}={R_{r}}^{2}+{U_{L}}^{2}\) = I²(r²+ Z_L²) = I²(R²+ Z_L²)

Xét tam giác OPQ

    PQ = U_L + U_C

   PQ²=  (U_L + U_C )² = I²(Z_L +Z_C)² = I²(Z_L² +Z_C² +2Z_LZ_C) = I² (Z_L² +Z_C² +2R²)    (1)

  OP² + OQ² =  \({U_{AM}}^{2}+{U_{MB}}^{2}=2{U_{R}}^{2}+{U_{L}}^{2}+{U_{C}}^{2}=I^{2}(2R^{2}+{Z_{L}}^{2}+{Z_{C}}^{2})(2)\) 

Từ (1) và (2) ta thấy PQ² = OP² + OQ² ------> tam giác OPQ vuông tại O

Từ U_MB = nU_AM = \(\sqrt{3}\) U_AM

tan(\(\angle\)POE) = \(\frac{U_{AM}}{U_{MB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ------>\(\angle\) POE  = 30⁰_. Tứ giác OPEQ là hình chữ nhật

\(\angle\) OQE = 60⁰ ------>\(\angle\) QOE = 30⁰

  Do đó góc lệch pha giữa u và i trong mạch:  φ= 90⁰ – 60⁰ = 30⁰

  Vì vậy   cosφ = cos30⁰= \(\frac{\sqrt{3}}{2}=0,866\) .  

đáp án C

Bài7:  Đặt một điện áp xoay chiều u = U₀cosωt (V)  vào hai đầu một đoạn mạch AB gồm điện trở R, cuộn dây cảm thuần L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Tụ C có điện dung thay đổi được.Thay đổi C, khi Z_C = Z_C1 thì cường độ dòng điện trễ pha \(\frac{\pi }{4}\) so với điện áp hai đầu đoạn mạch, khi Z_C = Z_C2 = 6,25Z_C1  thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt giá trị cực đại. Tính hệ số công suất của mạch.
                 A. 0,6                             B. 0,7                       C. 0,8                       D. 0,9

  Giải:

tanφ₁ = \(\frac{Z_{L}-Z_{C1}}{R}=tan(\frac{\pi }{4})\)= 1-----> R = Z_L – Z_C1 -----> Z_C1 =  Z_L - R

  U_C2 = U_cmax ------->  Z_C2 = \(\frac{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}{Z_{L}}\) ------> 6,25Z_C1Z_L = R² +Z_L²

---> 6,25( Z_L- R) Z_L = R² +Z_L² -----> 5,25Z_L²  - 6,25RZ_L – R² = 0

--------> 21Z_L²-  25RZ_L – 4R² = 0 ------> Z_L = \(\frac{4R}{3}\)

Z_C2 = \(\frac{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}{Z_{L}}\) = \(\frac{R^{2}+\frac{16R^{2}}{9}}{\frac{4R}{3}}=\frac{25R}{12}\)  = ------>

cosφ₂ = \(\frac{R}{Z_{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(\frac{4R}{4}-\frac{25R}{12})^{2}}}=0,8\) = 0,8. 

đáp án C

Bài 5: Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM chỉ có biến trở R, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần r mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt vào AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng và tần số không đổi. Điều chỉnh R đến giá trị 80 Ω thì công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại và tổng trở của đoạn mạch AB chia hết cho 40 Ω . Khi đó hệ số công suất của đoạn mạch MB và của đoạn mạch AB tương ứng là

                A. \(\frac{3}{8}\)  và \(\frac{5}{8}\).                  B. \(\frac{33}{118}\) và \(\frac{113}{160}\) .                     C. \(\frac{1}{17}\)và \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) .                       D. \(\frac{1}{8}\). và \(\frac{3}{4}\)

Giải: