Tóm tắt công thức và bài tập tự luyện liên quan đến cực trị

TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ 

I.Mạch điện RLC có R biến đổi.

1.Kiến thức cần nhớ :

* Công suất P của mạch đạt cực đại khi  

   Chú yù:  Nếu cuộn dây có điện trở thuần r thì

F  Công suất P của mạch đạt cực đại khi :

F  Công suất P_R trên R  đạt cực đại khi : \(R=\sqrt{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}\)

* Khi P < P_max luôn tồn tại 2 giá trị R₁, R₂ để công suất tiêu thụ trên mạch bằng nhau, đồng thời ta có   

* Các giá trị  I, U_L, U_Cđạt cực đại khi : R = 0.

* Giá trị U_R → ∞ khi R → + ∞.

* Nếu R = R₁ hoặc R = R₂ mà công suất trên mạch có giá trị như nhau thì P_max khi :  R =\(\sqrt{R_{1}R_{2}}=\left | Z_{L}-Z_{C} \right |\)

           ( Nếu cuộn dây có điện trở r thì : R + r  = \(\sqrt{(R_{1}+r)(R_{2}+r)}\) )

2.Luyện tập :

Bài 1:  Cho một đoạn mạch gồm một cuộn dây thuần cảm L = \(\frac{1}{\pi }\)  H mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung không đổi C và một biến trở R. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 200V, tần số 50Hz. Thay đổi giá trị của biến trở R thấy công suất tiêu thụ cực đại trong đoạn mạch là 200 W. Điện dung C trong mạch có giá trị:

   A. \(\frac{10^{-2}}{\pi }\)F.                       B.\(\frac{10^{-2}}{2\pi }\) F.                          C.\(\frac{10^{-4}}{\pi }\) F.                          D.\(\frac{10^{-4}}{2\pi }\) F.

Bài 2:  Mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây và tụ điện mắc nối tiếp. Biết cuộn dây có điện trở thuần r = 30Ω, độ tự cảm L =\(\frac{0,6}{\pi }\) H, tụ điện có điện dung C = \(\frac{1}{2\pi }\)mF. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 220V – 50Hz. Để công suất tiêu thụ trên biến trở đạt cực đại thì giá trị của biến trở phải bằng

   A. 0Ω                            B. 10 Ω                            C. 40Ω.                            D. 50Ω.

HD: Công suất trên biến trở cực đại khi \(R=\sqrt{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}\) .

Bài 3:  Đoạn mạch gồm biến trở R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp.Điện áp ở hai đầu mạch là u =\(U\sqrt{2}cos\omega t\) (V). Điện áp hiệu dụng của đoạn R,L có giá trị không đổi  là 120V. Giá trị của U là

   A. 240V.                       B. 200V.                           C. 120V.                           D. 100V.

 HD:Ta có U_RL = I.\(\sqrt{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}=\frac{U\sqrt{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}}{\sqrt{R^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}}\) không phụ thuộc

\(R\Leftrightarrow {Z_{L}}^{2}=(Z_{L}-Z_{C})^{2}\Rightarrow\) RU_RL=U=120V

Bài 4:  Đoạn mạch gồm biến trở R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L = \(\frac{2}{\pi }\)(H) và tụ điện có điện dung  C = \(\frac{10^{-4}}{4\pi }\) F mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi U. Điện áp hiệu dụng của đoạn R,L có giá trị không đổi  khi R biến thiên. Giá trị của ω  là

   A. 50π(rad/s).                   B. 60π(rad/s).                    C. 80π(rad/s).                   D. 100π(rad/s).

Bài 5:  Cho mạch điện xoay chiều AB gồm R, L, C mắc nối tiếp, với là biến trở, L và C không đổi. Điện áp hai đầu đoạn mạch AB là u_AB = 100\(\sqrt{2}\)cos 100 πt (V). Gọi R₀ là giá trị của biến trở để công suất cực đại. Gọi R₁, R₂ là 2 giá trị khác nhau của biến trở sao cho công suất của mạch là như nhau. Mối liên hệ giữa hai đại lượng này là:

   A. R₁R₂ = R₀².               B. R₁R₂ = 3R₀².                C. R₁R₂ = 4R₀².                D. R₁R₂ = 2R₀².

.......................................................................................

II. Mạch điện RLC có điện dung C biến đổi.

Kiến thức cần nhớ :

F   Điện áp hiệu dụng:  

    Khi : \(Z_{C}=\frac{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}{Z_{L}}\)  và

Nếu C = C₁ hoặc C = C₂ mà công suất P trên mạch bằng nhau thì P_max khi :     

\(\frac{1}{C}=\frac{1}{2}(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}})\)

Nếu C = C₁ hoặc C = C₂ mà  U_C bằng nhau thì U_C đạt giá trị cực đại khi :                   

\(C=\frac{1}{2}(C_{1}+C_{2})\)

Nếu C = C₁ hoặc C = C₂ mà  các giá trị : I, P, U_R , U_L như nhau thì :               

\(Z_{L}=\frac{Z_{C1}+Z_{C2}}{2}\)

Các giá trị P, I, U_R, U_L, đạt cực đại khi mạch xảy ra cộng hưởng : Z_C = Z_L.

Luyện tập 

Bài 9: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng 120V, tần số 50 Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần 30 Ω, cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(\frac{0,4}{\pi }(H)\)  và tụ điện có điện dung thay đổi được. Điều chỉnh điện dung của tụ điện thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại bằng

    A. 150 V.                         B. 160 V.                          C. 100 V.                          D. 250 V.

Bài 10: đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM có điện trở thuần 50 Ω mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(\frac{1}{\pi }\)H , đoạn mạch MB chỉ có tụ điện với điện dung thay đổi được. Đặt điện áp \(u=U_{0}cos100\pi t(V)\)  vào hai đầu đoạn mạch AB. Điều chỉnh điện dung của tụ điện đến giá trị \(C_{1}\) sao cho điện áp hai đầu đoạn mạch AB lệch pha \(\frac{\pi }{2}\)  so với điện áp hai đầu đoạn mạch AM. Giá trị của \(C_{1}\)  bằng

A. \(\frac{8.10^{-5}}{\pi }F\).                    B.\(\frac{10^{-5}}{\pi }F\)  .                        C.\(\frac{4.10^{-5}}{\pi }F\) .                    D. \(\frac{2.10^{-5}}{\pi }F\).

 Đápán A

Bài 11: Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số 50Hz vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C thay đổi được. Điều chỉnh điện dung C đến giá trị \(\frac{10^{-4}}{4\pi }F\)  hoặc \(\frac{10^{-4}}{2\pi }F\) thì công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đều có giá trị bằng nhau. Giá trị của L bằng

A.\(\frac{1}{3\pi }H\) .                              B.\(\frac{1}{2\pi }H\) .                         C.\(\frac{3}{\pi }H\).                           D.\(\frac{2}{\pi }H\)

HD:  Ápdụng: Z_L = \(\frac{1}{2}\)(Z_C1+Z_C2);  Kết quả: \(L=\frac{3}{\pi }(H)\).

 Đápán C

III.Mạch điện RLC có độ tự cảm L biến đổi.

Kiến thức cần nhớ : 

Nếu: L = L₁ hoặc L = L₂ mà công suất P trên mạch bằng nhau thì  P_max  khi : \(L=\frac{1}{2}(L_{1}+L_{2})\)   .

Nếu: L = L₁ hoặc L = L₂ mà U_L có giá trị như nhau thì  U_Lmax khi :\(\frac{1}{L}=\frac{1}{2}(\frac{1}{L_{1}}+\frac{1}{L_{2}})\)    .

Nếu: L = L₁ hoặc L = L₂ mà  I, P, U_C, U_Rnhư nhau thì  : \(Z_{C}=\frac{Z_{L1}+Z_{L2}}{2}\)

F   Các giá trị P, I, U_R, Uc, đạt cực đại khi mạch xảy ra cộng hưởng : Z_L = Z_C. 

...............................................................................................................

Luyện tập:

Bài 18: Đặt điện áp u = U₀cosωt vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Biết dung kháng của tụ điện bằng \(R\sqrt{3}\). Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại, khi đó

    A. điện áp giữa hai đầu điện trở lệch pha \(\frac{\pi }{6}\)  so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.

    B. điện áp giữa hai đầu tụ điện lệch pha \(\frac{\pi }{6}\)  so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.

    C. trong mạch có cộng hưởng điện.

    D. điện áp giữa hai đầu cuộn cảm lệch pha \(\frac{\pi }{6}\) so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch.)

HD: Ta có 

Bài 19: Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM có điện trở thuần R = 100Ω mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB chỉ có cuộn thuần cảm với độ tự cảm thay đổi được. Đặt điện áp u = 100\(\sqrt{2}\)cos(\(100\pi t+\frac{\pi }{4}\)) vào hai đầu đoạn mạch AB. Điều chỉnh L để U_L max, khi đó u _AM = 100\(\sqrt{2}\)cos(\(100\pi t+\varphi\)) . Giá trị của C và  là

HD: Ta có Z_L = \(\frac{R^{2}+{Z_{C}}^{2}}{Z_{C}}\) (1), maxU_L = \(\frac{U}{R}\sqrt{R^{2}+{Z_{C}}^{2}}\).

Ngoài ra u _AM vuông pha với u_AB \(\Rightarrow \varphi =-\frac{\pi }{4}\) .

Từ Z_AM =Z => R² + Z²_C = R² + (Z_L – Z_C)² => Z_L = 2Z_C (2), (vì: Z_L>Z_C). Từ (1),(2)

=> Z_C = R = 100Ω.

Bài 20: Đặt điện áp u = U₀cosωt vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Khi L₁ = \(\frac{1}{\pi }(H)\) và khi L₂ =\(\frac{5}{\pi }\) (H) thì công suất tiêu thụ trên mạch có giá trị bằng nhau. Công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất khi L bằng

    A. \(\frac{4}{\pi }\)  (H).                     B.\(\frac{2}{\pi }\)  (H).                       C. \(\frac{3}{\pi }\) (H).                         D. \(\frac{1}{\pi }\) (H).

HD:  Áp dụng công thức: \(L=\frac{1}{2}(L_{1}+L_{2})\)

Bài 21: Đặt điện áp u = U₀cosωt vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được. Khi L₁ =\(\frac{1}{\pi }(H)\)  và khi L₂ =\(\frac{5}{\pi }\) (H) thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị bằng nhau. Cho biết tần số dòng điện là f = 50 Hz. Dung kháng của mạch điện là

    A. 50Ω.                       B. 100Ω.                       C. 200Ω.                         D. 300Ω.

HD: Áp dụng công thức: \(Z_{C}=\frac{Z_{L1}+Z_{L2}}{2}\)

Bài 22: Cho mạch gồm điện trở R và cuộn dây thuần cảm L nối tiếp, L thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu mạch là U, tần số góc ω = 200rad/s. Khi L = π/4H thì u lệch pha so với i một góc φ , khi L = 1/π H thì u lệch pha so với i một góc φ'. Biết φ+φ' = 90^o. R có giá trị là

   A. 80Ω                          B. 65Ω                              C.100Ω                           D. 50Ω

...............................................................................................................................

IV.Mạch điện RLC có ω biến đổi.

Kiến thức cần nhớ :

 Ta có: 

 Điều kiện để U_L max là : 2L > R²C ; Khi đó:\(\omega =\sqrt{\frac{2}{2LC-R^{2}C^{2}}}\)  và U_L max =\(\frac{2UL}{R\sqrt{4LC-R^{2}C^{2}}}\)  .

Xét hàm: f(x) = L²C² x² – (2LC – R²C²)x + 1. Với:  x = ω² .  Ta suy ra được:

    Điều kiện để U_C max là : 2L> R²C.

Khi đó: \(\omega =\frac{1}{LC}\sqrt{\frac{2LC-R^{2}C^{2}}{2}}\)  và U_Cmax =\(\frac{2UL}{R\sqrt{4LC-R^{2}C^{2}}}\) .     

   Nếu ω = ω₁  hoặc ω = ω₂ mà P, I, Z, cosφ, U_R có giá trị như nhau thì  P, I, cosφ, U_R sẽ đạt giá trị cực đại khi:  ω =  \(\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\omega_{1}\omega _{2} }\) 

Luyện tập :

Bài 23 : Đặt điện áp xoay chiều u = U₀cosωt có U₀ không đổi và ω thay đổi được vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp. Thay đổi w thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω₁ bằng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch khi ω = ω₂. Hệ thức đúng là :

   A.\(\omega _{1}+\omega _{2}=\frac{2}{LC}\) .          B. \(\omega _{1}.\omega _{2}=\frac{1}{LC}\).                C.\(\omega _{1}+\omega _{2}=\frac{2}{\sqrt{LC}}\) .           D.\(\omega _{1}.\omega _{2}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\) .

 Coi đây là phương trình ẩn ω>0.

Theo hệ thức Vi-et phương trình này nếu có 2 nghiệm ω₁ , ω_2­ thì  \(\omega _{1}.\omega _{2}=\frac{1}{LC}\).

Bài 24 : Mạch RLC nối tiếp có R = 100Ω, L = \(2\sqrt{3}/\pi\) (H). Điện áp xoay chiều đặt vào đoạn mạch có biểu thức u = U_ocos2πft, f thay đổi được. Khi f = 50Hz thì i chậm pha π/3 so với u. Để i cùng pha với u thì f có giá trị là

   A. 100Hz                      B. 50\(\sqrt{2}\)Hz                      C. 25\(\sqrt{2}\)Hz                      D. 40Hz