Lý thuyết và phương pháp giải bài toán từ thông và suất điện động xoay chiều

LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỪ THÔNG VÀ SUẤT ĐIỆN ĐỘNG XOAY CHIỀU

I.Cách tạo ra suất điện động xoay chiều:

Cho khung dây dẫn phẳng có N vòng ,diện tích S

quay đều với vận tốc ω , xung quanh trục vuông góc với với các đường sức từ

 của một từ trường đều có cảm ứng từ \(\overrightarrow{B}\).Theo định luật cảm ứng điện từ, trong

khung dây xuất hiện một suất điện động biến đổi theo định luật dạng cosin với

thời gian gọi tắt là suất điện động xoay chiều:

\(e=E_{0}cos(\omega t+\varphi _{0})\)

1.Từ thông gởi qua khung dây :

-Từ thông gửi qua khung dây dẫn gồm N vòng dây có diện tích S quay trong từ trường đều \(\overrightarrow{B}\) .Giả sử tại t=0 thì : \((\vec{n},\vec{B})=\varphi\)

 => Biểu thức từ thông của khung: \(\Phi =N.B.S.cos\omega t=\Phi _{0}.cos\omega t\)

                                         (Với \(\Phi =LI\)  và Hệ số tự cảm  L = 4π.10^-7 N².S/l )

 - Từ thông qua khung dây cực đại  \(\Phi =NBS\) ; ω là tần số góc bằng tốc độ quay của khung (rad/s)

 Đơn vị : + Φ : Vêbe(Wb);                 

               + S: Là diện tích một vòng dây (S:m²);

               + N: Số vòng dây của khung

             + \(\overrightarrow{B}\): Véc tơ cảm ứng từ của từ trường đều .B:Tesla(T)

 ( \(\overrightarrow{B}\) vuông góc với trục quay ∆ )

             + ω : Vận tốc góc không đổi của khung dây

            ( Chọn gốc thời gian t=0 lúc \((\vec{n},\vec{B})=0^{0}\)

 -Chu kì và tần số của khung : \(T=\frac{2\pi }{\omega };f=\frac{1}{T}\)

   2. Suất điện động xoay chiều:

- Biểu thức của suất điện động cảm ứng tức thời:

\(e=\frac{-\Delta \Phi }{\Delta t}=-\Phi '=\omega NBS.sin\omega\)\(t=E_{o}cos(\omega t-\frac{\pi }{2})\)  

 \(e=E_{o}cos(\omega t+ \varphi _{0})\) Đặt  \(E_{0}=NB\omega S\) :Suất điện động cực đại  

 \(\varphi _{0}=\varphi -\frac{\pi }{2}\)

    Đơn vị :e,E₀ (V)

.Phương pháp:

Thông thường bài tập thuộc dạng này yêu cầu ta tính từ thông, suất điện động cảm ứng xuất hiện trong

khung dây quay trong từ trường. Ta sử dụng các công thức sau để giải:

- Tần số góc: \(\omega =2\pi n_{0}\) , Với n₀ là số vòng quay trong mỗi giây bằng tần số dòng điện xoay chiều.

- Biểu thức từ thông: \(\Phi =\Phi _{0}cos(\omega t+\varphi )\)  ,  Với    \(\Phi _{0}\)= NBS.

- Biểu thức suất điện động: \(e=E _{0}sin(\omega t+\varphi )\)  Với Eo = NBSω ; \(\varphi =(\vec{B},\vec{n})\)   lúc t=0.

- Vẽ đồ thị: Đồ thị là đường hình sin:   * có chu kì :  \(T=\frac{2\pi }{\omega }\)      * có biên độ: \(E_{0}\)

2.Bài tập áp dụng :

Bài  1 : Một khung dây dẫn phẳng có diện tích S = 50 cm², có N = 100 vòng dây, quay đều với tốc độ 50 vòng/giây quanh một trục vuông góc với các đường sức của một từ trường đều có cảm ứng từ B = 0,1 T. Chọn gốc thời gian t = 0 là lúc vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của diện tích S của khung dây cùng chiều với vectơ cảm ứng từ  \(\overrightarrow{B}\) và chiều dương là chiều quay của khung dây.

a)     Viết biểu thức xác định từ thông Φ qua khung dây.

b)    Viết biểu thức xác định suất điện động e xuất hiện trong khung dây.

c)     Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến đổi của e theo thời gian.

Bài  giải :

a)     Khung dây dẫn quay đều với tốc độ góc : ω = 50.2π = 100π  rad/s

Tại thời điểm ban đầu t = 0, vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của diện tích S của khung dây có chiều trùng với chiều của vectơ cảm ứng từ \(\overrightarrow{B}\) của từ trường. Đến thời điểm t, pháp tuyến \(\vec{n}\)  của khung dây đã quay được một góc bằng ωt . Lúc này từ thông qua khung dây là :

 \(\Phi =NBS\)cos(ωt )

Như vậy, từ thông qua khung dây biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc ω và với giá trị cực đại (biên độ) là Ф₀ = NBS.

Thay N = 100, B = 0,1 T, S = 50 cm² = 50. 10^-4 m² và ω = 100π rad/s ta được biểu thức của từ thông qua khung dây là :\(\Phi =0,05cos (100\pi t)\)  (Wb)

b)      Từ thông qua khung dây biến thiên điều hoà theo thời gian, theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday thì trong khung dây xuất hiện một suất điện động cảm ứng.

Suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung dây được xác định theo định luật Lentz :

 \(e=-\frac{d\Phi }{dt}=-\Phi '_{t}=\omega NBSsin(\omega t)=\omega NBScos(\omega t-\frac{\pi }{2})\)

Như vậy, suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung dây biến đổi điều hoà theo thời gian với tần số góc ω và với giá trị cực đại (biên độ) là E₀ = ωNBS.

Thay N = 100, B = 0,1 T, S = 50 cm² = 50. 10^-4 m² và ω = 100π rad/s ta được biểu thức xác định suất điện động xuất hiện trong khung dây là :

 \(e=5\pi cos(100\pi t-\frac{\pi }{2})\)(V)hay  \(e\approx 15,7cos(314t-\frac{\pi }{2})\) (V)

c) Suất điện động xuất hiện trong khung dây biến đổi điều hoà theo thời gian với chu khì T và tần số f lần lượt là :

\(T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{100\pi }=0,02s;f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,02}=50Hz\)

Đồ thị biểu diễn sự biến đổi của suất điện động e theo thời gian t là đường hình sin có chu kì tuần hoàn T = 0,02 s.Bảng giá trị của suất điện động e tại một số thời điểm đặc biệt như : 0 s, \(\frac{T}{4}=0,005s;\frac{T}{2}=0,01s,\frac{3T}{4}=0,015s,T=0,02s,\frac{5T}{4}=0,025s\) và  \(\frac{3T}{2}=0,03s\) :

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của e theo t như hình trên H1  :

Bài  2 : Dòng điện xoay chiều chạy qua một đoạn mạch có cường độ biến đổi điều hoà theo thời gian được mô tả bằng đồ thị ở hình dưới đây.

a)     Xác định biên độ, chu kì và tần số của dòng điện.

b)    Đồ thị cắt trục tung ( trục Oi) tại điểm có toạ độ bao nhiêu ?

Bài  giải :

a)     Biên độ chính là giá trị cực đại I₀ của cường độ dòng điện. Dựa vào đồ thị ta có biên độ của dòng điện này là : I₀ = 4 A.

     Tại thời điểm 2,5.10^-2 s, dòng điện có cường độ tức thời bằng 4 A. Thời điểm kế tiếp mà dòng điện có cường độ tức thời bằng 4 A là 2,25.10^-2 s. Do đó chu kì của dòng điện này là :

T = 2,25.10^-2 – 0,25.10^-2 = 2.10^-2 s  ; Tần số của dòng điện này là : \(f=\frac{1}{T}=\frac{1}{2.10^{-2}}=50Hz\)

b)    Biểu thức cường độ dòng điện xoay chiều này có dạng : \(i=I_{0}cos(\omega t+\varphi _{i})\)            

     Tần số góc của dòng điện này là :\(\omega =2\pi f=2\pi .50=100\pi (rad/s)\)

     Tại thời điểm t = 0,25.10^-2 s, dòng điện có cường độ tức thời i = I₀ = 4 A, nên suy ra :

        \(I_{0}cos(100\pi .0+\varphi _{i})=I_{0}\)   Hay    \(cos(\frac{\pi }{4}+\varphi _{i})=1\)    

     Suy ra :( \(\varphi _{i})=-\frac{\pi }{4} rad\). Do đó biểu thức cường độ của dòng điện này là :    

\(i=I_{0}cos(100\pi t-\frac{\pi }{4})(A)=4cos(100\pi t-\frac{\pi }{4})(A)\)

     Tại thời điểm t = 0 thì dòng điện có cường độ tức thời là : 

\(i=I_{0}cos(100\pi .0-\frac{\pi }{4})(A)=\frac{I_{0}}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}A\)  \(\approx 2,83A\).

 Vậy đồ thị cắt trục tung tại điểm có toạ độ (0 s,  \(2\sqrt{2}\)A).

Bài 3: Một khung dây có diện tích S = 60cm²   quay đều với vận tốc 20 vòng trong một giây. Khung đặt trong từ trường đều B = 2.10^-2T.

Trục quay của khung vuông góc với các đường cảm ứng từ, lúc t = 0 pháp tuyến khung dây   có hướng của  .

   a. Viết biểu thức từ thông xuyên qua khung dây.

   b. Viết biểu thức suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung dây.

Hướng dẫn:

a. Chu kì: \(T=\frac{1}{n_{0}}=\frac{1}{20}=0,05\)    (s).    Tần số góc:\(\omega =2\pi n_{0}=2\pi .20=40\pi\)    (rad/s).

\(\Phi _{0}=NBS=1.2.10^{-2}.60.10^{-4}=12.10^{-5}\) (Wb).   Vậy \(\Phi =12.10^{-5}cos40\pi t\) (Wb)

b.  \(E_{0}=\omega \Phi _{0}=40\pi .12.10^{-5}=1,5.10^{-2}\)(V)

 Vậy  \(e=1,5.10^{-2}sin40\pi t\) (V)     Hay  \(e=1,5.10^{-2}cos(40\pi t-\frac{\pi }{2})\)  (V)

Bài 4: Một khung dây dẫn gồm N = 100 vòng quấn nối tiếp, diện tích mỗi vòng dây là  S = 60cm². Khung dây quay đều với tần số 20 vòng/s, trong một từ trường đều có cảm ứng từ B = 2.10^-2T. Trục quay của khung vuông góc với  .

    a. Lập biểu thức của suất điện động cảm ứng tức thời.

    b. Vẽ đồ thị biểu diễn suất điện động cảm ứng tức thời theo thời gian.

Hướng dẫn:

a. Chu kì: \(T=\frac{1}{n_{0}}=\frac{1}{20}=0,05\)s.Tần số góc:   \(\omega =2\pi n_{0}=2\pi .20=40\pi\) (rad/s)

Biên độ của suất điện động:   E_o = ωNBS = 40π.100.2.10^-2.60.10^-4 ≈ 1,5V

Chọn gốc thời gian lúc  \((\vec{B},\vec{n})=0\Rightarrow \varphi =0\).

Suất điện động cảm ứng tức thời: \(e=E_{0}sin\omega t=1,5sin40\pi t\)  (V) Hay \(e=1,5cos(40\pi t-\frac{\pi }{2})\)(V).

b. Đồ thị biểu diễn e theo t là đường hình sin:

    - Qua gốc tọa độ O.

    - Có chu kì T = 0,05s

    - Biên độ E_o = 1,5V.

Bài 5: Một khung dây dẫn có N = 100 vòng dây quấn nối tiếp, mỗi vòng có diện tích S = 50cm². Khung dây được đặt trong từ trường đều B = 0,5T. Lúc t = 0, vectơ pháp tuyến của khung dây hợp với \(\overrightarrow{B}\) góc \(\varphi =\frac{\pi }{3}\). Cho khung dây quay đều với tần số 20 vòng/s quanh trục  (trục ∆ đi qua tâm và song song với một cạnh của khung) vuông góc với \(\overrightarrow{B}\) . Chứng tỏ rằng trong khung xuất hiện suất điện động cảm ứng e và tìm biểu thức của e theo t.

Hướng dẫn: Khung dây quay đều quanh trục ∆ vuông góc với cảm ứng từ \(\overrightarrow{B}\) thì góc hợp bởi vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của khung dây  và \(\overrightarrow{B}\) thay đổi => từ thông qua khung dây biến thiên => Theo định luật cảm ứng điện từ, trong khung dây xuất hiện suất điện động cảm ứng.

          Tần số góc: \(\omega =2\pi n_{0}=2\pi .20=40\pi\)(rad/s)

          Biên độ của suất điện động: \(E_{0}=\omega NBS=40\pi .100.0,5.50.10^{-4}\approx 31,42\) (V)

          Chọn gốc thời gian lúc:\((\vec{n},\vec{B})=\frac{\pi }{3}\)

          Biểu thức của suất điện động cảm ứng tức thời: \(e=31,42sin(40\pi t+\frac{\pi }{3})\) (V)  

          Hay   \(e=31,42cos(40\pi t-\frac{\pi }{6})\) (V)

Bài 6 (ĐH-2008: Một khung dây dẫn hình chữ nhật có 100 vòng, diện tích mỗi vòng 600 cm², quay đều quanh trục đối xứng của khung với vận tốc góc 120 vòng/phút trong một từ trường đều có cảm ứng từ bằng 0,2T. Trục quay vuông góc với các đường cảm ứng từ. Chọn gốc thời gian lúc vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khung dây ngược hướng với vectơ cảm ứng từ. Biểu thức suất điện động cảm ứng trong khung là

   A. \(e=48\pi sin(40\pi t-\frac{\pi }{2})(V)\)                         B.\(e=4,8\pi sin(4\pi t+\pi)(V)\)

   C. \(e=48\pi sin(4\pi t+\pi)(V)\)                            D.\(e=4,8\pi sin(40\pi t-\frac{\pi }{2})(V)\)

HD: \(\Phi =BScos(\omega t+\pi )\Rightarrow e=-N.\Phi '=\)\(N\omega BS.sin(\omega t+\pi )=4,8sin(4\pi t+\pi )(V)\)

Bài 7:Một khung dây quay đều trong từ trường \(\overrightarrow{B}\) vuông góc với trục quay của khung với tốc độ n = 1800 vòng/ phút. Tại thời điểm t = 0, véctơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng khung dây hợp với \(\overrightarrow{B}\) một góc 30⁰. Từ thông cực đại gởi qua khung dây là 0,01Wb. Biểu thức của suất điện động cảm ứng xuất hiện trong khung là :

  A. \(e=0,6\pi cos(30\pi t-\frac{\pi }{6})(Wb)\)                    B. \(e=0,6\pi cos(60\pi t-\frac{\pi }{3})(Wb)\)

  C.\(e=0,6\pi cos(60\pi t+\frac{\pi }{6})(Wb)\)                     D. \(e=60 cos(30 t+\frac{\pi }{3})(Wb)\)