Tính điện trở mạch cầu khi biết các giá trị điện trở con ( đầy đủ)

TÍNH ĐIỆN TRỞ MẠCH CẦU KHI BIẾT CÁC GIÁ TRỊ ĐIỆN TRỞ CON

Mạch cầu tổng quát

I, mạch cầu cân bằng:

- hi đặt một hiệu điện thế U_AB khác 0  thì ta nhận thấy I₅ = 0.

- Đặc điểm của mạch cầu cân bằng.

+ Ta có thể vẽ lại mạch gồm: (R₁ // R₃) nt (R₂ // R₄) hoặc (R₁ nt R₂) // (R₃ nt R₄)

+ Về điện trở   \(\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}\Leftrightarrow \frac{R_{1}}{R_{3}}=\frac{R_{2}}{R_{4}}\)

+ Về dòng điện: I₁ = I₂; I₃ = I₄ Hoặc \(\frac{I_{1}}{I_{3}}=\frac{R_{3}}{R_{1}};\frac{I_{2}}{I_{4}}=\frac{R_{4}}{R_{2}}\)

+ Về hiệu điện thế: U₁ = U₃; U­₂ = U₄  Hoặc \(\ \frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}};\frac{U_{3}}{U_{4}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}\) 

Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ. Với R₁=1Ω, R₂=2Ω, R₃=3Ω, R₄= 6Ω, R₅ = 5Ω. U_AB=6V. Tính I qua các điện trở?

Giải:

Ta có : \(\ \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}\)  \(\ \rightarrow\) Mạch AB là mạch cầu cân bằng \(\ \rightarrow\) I₅ = 0. (Bỏ qua R₅).

Mạch điện tương đương: (R₁ nt R₂) // (R₃ nt R₄)

- Cường độ dòng điện qua các điện trở

          I₁ = I₂ = \(\ \frac{U_{AB}}{R_{1}+R_{2}}=\frac{6}{1+2}=2A\); I₃ = I₄ = \(\frac{U_{AB}}{R_{3}+R_{4}}=\frac{6}{3+6}\approx 0,67A\)

Bài 2: Cho mạch điện mắc như hình vẽ bên:

Chứng minh rằng nếu có:

 \(\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}\Leftrightarrow \frac{R_{1}}{R_{3}}=\frac{R_{2}}{R_{4}}\)

Thì khi K đóng hay K  mở, điện trở tương đương của bộ tụ đều không thay đổi.

Bài 3: Cho 12 điện trở được ghép thành mạch như hình vẽ.

Tính điện trở tương đương của cả đoạn mạch.

Với R₁ = R₅ = R₉ = R₄ = 1\( \Omega\) ,

R₃ = R₆ = R₁₀ = R₁₂ = 2\( \Omega\), R₂ = 3\(\Omega\) ,

 R₈ = 4\( \Omega\) , R₇ = 6\( \Omega\) , R₁₁ = 2\( \Omega\) .

Bài 4: Tính điện trở tương đương của mạch:

II, Mạch cầu không cân bằng:

- Khi đặt một hiệu điện thế U_AB khác 0  thì ta nhận thấy I₅ khác 0.

 Bài 1: Cho mạch điện như hình vẽ:

Với R₁=1Ω, R₂=2Ω, R₃=3Ω, R₄= 4Ω, R₅ = 5Ω.

Tính điện trở tương đương của mạch điện.

Lưu ý:

*Cách 1, 2, 3 có sử dụng 2 định luật Kirchhoff như sau:

(có thể tìm được tư liệu về định luật này ở nhiều sách nâng cao. Các công thức này có thể tự chứng minh theo ý hiểu cá nhân, nhưng mình sẽ lấy cái tổng quát nhất là dựa vào định luật Kirchhoff)

+ Nếu dòng điện đi từ M đến N: 

Tại nút N ta có: I₄ = I₅ + I₃Tại nút M ta có: I₁ = I₂ + I₅

Tại mắt mạng AMN: U₁ + U₅ = U₃

Tại mắt mạng MNB: U₄ + U₅ = U₂ 

U₅ = V_M - V_N

+ Nếu dòng điện đi từ N đến M:

Tại nút M ta có: I₁ = I₂ - I₅

 Tại mắt mạng AMN: U₁ - U₅ = U₃Tại nút N ta có: I₄ = I₃ - I₅

Tại mắt mạng MNB: U₄ - U₅ = U₂

U₅ = V_N - V_M

* Bình thường một số bài toán không cho dấu của 2 cực của nguồn (điều này không ảnh hưởng đến đáp án) ta vẫn phải làm thao tác “giả sử chiều dòng điện như hình vẽ”. Thao tác này vừa để chọn chiều dòng điện qua MN vừa để chọn dấu của 2 cực của nguồn. Các công thức trên mình đều chọn cực dương ở A, cực âm ở B và khi giải bài toán này mình vẫn chọn như thế. (Nếu chọn cực âm ở A, cực dương ở B thì chỉ việc đảo chỗ các công thức ở 2 trường hợp cho nhau)

Giải:

 Cách 1. đặt ẩn là hiệu điện thế

-Phương pháp chung.

+ Giả sử chiều dòng điện từ M đến N.                                   

+ Chọn 2 hiệu điện thế bất kì làm 2 ẩn.

+ Sau đó qui các hiệu điện thế còn lại theo ẩn đã chọn.

+ Giải bài theo ẩn đó.

VD ta chọn 2 ẩn là U₁ và U₃.

 Giả sử chiều dòng điện như hình vẽ (hình α)

 Ta có: I₁= \(\frac{U_{1}}{R_{1}}\), I₃= \( \frac{U_{3}}{R_{3}}\) _,   

 U₁+U₅ = U₃ \( \rightarrow\) U₅ = U₃- U₁ \(\rightarrow\) I₅ = \(\frac{U_{5}}{R_{5}}=\frac{U_{3}-U_{1}}{R_{5}}\)     I₂ = I₁-I₅ \( \rightarrow\)I₂ = \( \frac{U_{1}}{R_{1}}-\frac{U_{3}-U_{1}}{R_{5}}\) 

 \(\rightarrow\) U₂ = I₂.R₂ = (\(\frac{U_{1}}{R_{1}}-\frac{U_{3}-U_{1}}{R_{5}}\)).R₂

  I₄ = I₃+I₅ \(\rightarrow\) I₄ = \(\frac{U_{3}}{R_{3}}+\frac{U_{3}-U_{1}}{R_{5}}\) \(\rightarrow\) U₄ = I₄.R₄ = (_{.\( \frac{U_{3}}{R_{3}}+\frac{U_{3}-U_{1}}{R_{5}}\)}).R₄

 Lại có: U_C = U₁+U₂ = U₃+ U₄ \(\Leftrightarrow\) U₁.(1+ \( \frac{R_{2}}{R_{2}}+\frac{R_{2}}{R_{5}}\) )-U₃.\( \frac{R_{2}}{R_{5}}\) = U₃.(1\(+\frac{R_{4}}{R_{3}}+\frac{R_{4}}{R_{5}}\))-U₁.\( \frac{R_{4}}{R_{5}}\)

\(\Leftrightarrow\) U₁(1\( + \frac{R_{2}}{R_{2}}+\frac{R_{2}}{R_{5}}+\frac{R_{4}}{R_{5}}\)) = U₃.(1\( + \frac{R_{4}}{R_{3}}+\frac{R_{4}}{R_{5}}+\frac{R_{2}}{R_{5}}\))

\( \Leftrightarrow\) U₁ = \(  \frac{ 1+\frac{R_{2}}{R_{2}}+\frac{R_{2}}{R_{5}}+\frac{R_{4}}{R_{5}}}{1+\frac{R_{4}}{R_{3}}+\frac{R_{4}}{R_{5}}+\frac{R_{2}}{R_{5}}}\) U₃  \(\rightarrow\) U_C = U₁ + U₂ = .... \(\rightarrow\) PHỨC TẠP

*VD ta chọn 2 ẩn là U₁ và U₂.

 Ta có: I₁= \( \frac{U_{1}}{R_{1}}\), I₂= \(\frac{U_{2}}{R_{2}}\) \( rightarrow\) I₅ = I₁ - I₂ \( \rightarrow\) I₅ = \( \frac{U_{1}}{R_{1}}\) - \( \frac{U_{2}}{R_{2}}\) \( \rightarrow\) U₅ = I₅.R₅ = (\(\frac{U_{1}}{R_{1}}\) - \( \frac{U_{2}}{R_{2}}\)).R₅

 Lại có:

U₁+ U₅ = U₃ \( \rightarrow\) U₃ = U₁+U₅ = U₁ + (\( \frac{U_{1}}{R_{1}}\) - \( \frac{U_{2}}{R_{2}}\)).R₅ \(\rightarrow\) I₃ = \ \frac{U_{3}}{R_{3}}\) = \( \frac{1}{3}\) U₁+ \( \frac{5}{3}\)U₁- \(\frac{5}{6}\)U₂ = 2U₁- \( \frac{5}{6}\)U₂

U₅+ U₄ = U₂ \( \rightarrow\) U₄ = U₂ -U₅ = U₂ - (\( \frac{U_{1}}{R_{1}}\) - \( \frac{U_{2}}{R_{2}}\)).R₅ \(\rightarrow\) I₄ = \(\frac{U_{4}}{R_{4}}\)  = \( \frac{1}{4}\) U₂- \(\frac{5}{4}\)U₁+ \( \frac{5}{8}\)U₂ = \( \frac{7}{8}\) U₂- \( \frac{5}{4}\) U₁

 Mà: I_C = I₁ + I₃ = I₂ + I₄ \(\Leftrightarrow\) U₁ + 2U₁ - \( \frac{5}{6}\)U₂ = \(\frac{1}{2}\) U₂ + \( \frac{7}{8}\)U₂ - \(\frac{5}{4}\) U₁

 \( \Leftrightarrow\) \(\frac{17}{4}\) U₁ = \( \frac{53}{24}\)U₂  \(\Leftrightarrow\)  U₁ = \(\frac{53}{102}\) U₂

→U_C = U₁ + U₂ = \( \frac{155}{102}\) U₂ , I_C = I₁ + I₃ = 3U₁ - \( \frac{5}{6}\) U₂ = \( \frac{37}{51}\)U₂

→ R_TĐ = \( \frac{U_{c}}{I_{c}}=\frac{155}{74}\Omega\)

NHẬN XÉT: ĐIỀU NÀY CHO THẤY VIỆC ĐẶT ẨN SAO CHO PHÙ HỢP SẼ GIÚP RÚT NGẮN THỜI GIAN LÀM BÀI.

 Cách 2. Đặt ẩn là dòng

- Phương pháp chung.

+ Giả sử chiều dòng điện từ M đến N.

+ Chọn 2 dòng bất kì làm  ẩn.

+ Sau đó qui các dòng còn lại theo ẩn đã chọn.

+ Giải bài theo ẩn đó.  

VD: ta chọn 2 ẩn là I₁, I₃.

 Ta có:  U₁ = I₁.R₁, U₃ = I₃.R₃

 Lại có: U₁+U₅=U₃ → U₅ = U₃ - U₁ =  I₃.R₃ - I₁.R₁ → I₅ \( \frac{I_{3}.R_{3}-I_{1}.R_{1}}{R_{5}}=\frac{3I_{3}-I_{1}}{5}\)

ð  I₂ = I₁ - I₅ = I₁ - \( \frac{3I_{3}-I_{1}}{5}\)  = \( \frac{6}{5}\) I₁ - \( \frac{3}{5}\)I₃ → U₂ = I₂.R₂ = \(\frac{12}{5}\) I₁ - \( \frac{6}{5}\)I₃

 I₄ = I₃ + I₅ = I₃ + \( \frac{3I_{3}-I_{1}}{5}\) = \( \frac{8}{5}\) I₃ - \( \frac{1}{5}\)I_{1 →} U₄ = I₄.R₄ = \( \frac{32}{5}\)I₃ - \(\frac{4}{5}\) I₁

 Mà: U_C = U₁ + U₂ = U₃ + U₄  \( \Leftrightarrow\)  I₁ + \( \frac{12}{5}\) I₁ - \(\frac{6}{5}\) I₃ = 3I₃ + \( \frac{32}{5}\) I₃ - \(\frac{4}{5}\) I₁ 

 \(\Leftrightarrow\) \( \frac{21}{5}\) I₁ = \(\frac{53}{5}\) I₃  \( \Leftrightarrow\)  I₁ = \(\frac{53}{21}\) I₃

\( \Rightarrow\) I_C = I₁ + I₃ = \(\frac{74}{21}\) I₃, U_C = U₁ + U₂ = I₁ + \( \frac{12}{5}\) I₁ - \( \frac{6}{5}\) I₃ = \( \frac{155}{21}\) I₃

\(\Rightarrow\) R_TĐ \(=\frac{U_{c}}{I_{c}}=\frac{155}{74}\Omega\)