Bài tập sóng cơ nâng cao có lời giải chi tiết

BÀI TẬP SÓNG CƠ NÂNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 10 cm, dao động theo phương thẳng đứng với phương trình lần lượt là u_A  = 3cos(40 πt + π/6)  (cm); u_B = 4cos(40 πt + 2 π/3) (cm). Cho biết tốc độ truyền sóng là 40 cm/s. Một đường tròn có tâm là trung điểm của AB, nằm trên mặt nước, có bán kính R = 4cm. Số điểm dao động với biên độ 5 cm có trên đường tròn là

A. 30                        B. 32                              C. 34       D. 36

Hướng dẫn

Phương trình sóng tại M do sóng tại A truyền đến là: 

u_AM = 3cos(40πt + \(\frac{\pi }{6}\)  - \(\frac{2\pi d_{1}}{\lambda }\) )

Phương trình sóng tại M do sóng tại B truyền đến là: 

u_BM = 4cos(40πt + \(\frac{2\pi }{3}\)  - \(\frac{2\pi d_{2}}{\lambda }\))

Phương trình sóng tổng quát tổng hợp tại M là: 

u_M = u_AM + u_BM  = 3cos(40πt + ) + 4cos(40πt +\(\frac{2\pi }{3}\)  - \(\frac{2\pi d_{2}}{\lambda }\) )

Biên độ sóng tổng hợp tại M là:  (Áp dụng công thức dao động điều hòa)

\(A=\sqrt{3^{2}+4^{2}+2.3.4.cos(\frac{2\pi }{3}-\frac{2\pi d_{2}}{\lambda }-( \frac{\pi }{6} - \frac{2\pi d_{1}}{\lambda }))}\)

   \(=\sqrt{3^{2}+4^{2}+2.3.4.cos(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{\lambda }(d_{2}-d_{1}))}\)

Biên độ sóng tổng hợp tại M bằng 5 khi: \(cos(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{\lambda }(d_{2}-d_{1}))\)= 0

Khi đó: ) =\(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{\lambda }(d_{2}-d_{1})\frac{\pi }{2}-2\pi (\frac{d_{2}}{\lambda }-\frac{d_{1}}{\lambda })=\frac{\pi }{2}-k\pi\)

Do đó: d₂ – d₁= k \(\frac{\lambda }{2}\) ;

Mà - 8 ≤ d₂ – d₁ ≤ 8 <=> - 8 ≤ k \(\frac{\lambda }{2}\) ≤ 8 <=> - 8 ≤ k ≤ 8

Tương tự tại hai điểm M và N ở hai đầu bán kính là điểm dao động với biên độ bằng 5cm

Nên số điểm dao động với biên độ 5cm là: n = 17x2 – 2 = 32

Câu 2: Ở mặt nước có hai nguồn sóng cơ A và B cách nhau 15 cm, dao động điều hòa cùng tần số, cùng pha theo phương vuông góc với mặt nước. Điểm M nằm trên AB, cách trung điểm O là 1,5 cm, là điểm gần O nhất luôn dao động với biên độ cực đại. Trên đường tròn tâm O, đường kính 20cm, nằm ở mặt nước có số điểm luôn dao động với biên độ cực đại là

A. 18.               B. 16.             C. 32.              D. 17.

Hướng dẫn

Sóng tại M có biên độ cực đại khi d₂ – d₁ = kλ

Ta có d₁ = 15/2 + 1,5 = 9cm; d₂ = 15/2 – 1,5 = 6cm

Khi đó d₂ – d₁ = 3. Với điểm M gần O nhất chọn k = 1. Khi đó ta có: λ = 3 Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn AB là:

- S₁S₂ ≤ d₂ – d₁ ≤ S₁S₂

Hay -15 ≤ kλ ≤ 15 <=> -5 ≤ k ≤ 5

Vậy số điểm dao động với biên độ cực đại trên đường tròn tâm O bán kính 20cm là

n = 10x²  – 2 = 18 cực đại (ở đây tạ A và B là hai cực đại do đó chỉ có 8 đường cực đại cắt đường tròn tại 2 điểm, 2 cực đại tại A và B tiếp xúc với đường tròn)

Câu 3: Hai mũi nhọn S₁, S₂ cách nhau 9cm, gắn ở đầu một cầu rung có tần số f = 100Hz được đặt cho chạm nhẹ vào mặt một chất lỏng. Vận tốc truyền sóng trên mặt chất lỏng là v = 0,8 m/s. Gõ nhẹ cho cần rung thì 2 điểm S₁, S₂ dao động theo phương thẳng đứng với phương trình dạng: u  = acos2πft. Điểm M trên mặt chất lỏng cách đều và dao động cùng pha S₁ , S₂  gần S₁S₂ nhất có phương trình dao động.

Hướng dẫn

Phương trình sóng tổng quát tổng hợp tại M là: 

u_M = 2acos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\))cos(20πt - π \(\frac{d_{2}+d_{1}}{\lambda }\))

Với M cách đều S₁, S₂ nên d₁ = d₂. Khi đó d₂ – d₁ = 0 => cos(π \(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\)) = 1 => A = 2a

Để M dao động cùng pha với S₁, S₂ thì: π \(\frac{d_{2}+d_{1}}{\lambda }\) = 2kπ

suy ra:   và d₁ + d₂ = 2kλ  <=> \(\frac{d_{2}+d_{1}}{\lambda }\)=2k và  d₁ = d₂ = kλ 

 Gọi x là khoảng cách từ M đến AB: d₁ = d₂ = \(\sqrt{x^{2}+(\frac{AB}{2})^{2}}=k\lambda\)

Suy ra  \(\left | x \right |=\sqrt{(k\lambda )^{2}-(\frac{AB}{2})^{2}}=\sqrt{0,64k^{2}-9}\); (λ = v/f = 0,8 cm)

Biểu thức trong căn có nghĩa khi  \(0,64k^{2}-9\geq 0\Leftrightarrow k\geq 3,75\)

Với x ≠ 0 và khoảng cách là nhỏ nhất nên ta chọn k = 4

Khi đó  \(\frac{d_{2}+d_{1}}{\lambda }\)=2k=8

Vậy phương trình sóng tại M là:        u_M = 2acos(200πt - 8π) = u_M = 2acos(200πt)

Câu 4: Hai nguồn sóng kết hợp trên mặt nước cách nhau một đoạn S₁S₂ = 9λ phát ra dao động u=cos(t ω). Trên đoạn S₁S₂, số điểm có biên độ cực đại cùng pha với nhau và ngược pha với nguồn (không kể hai nguồn) là:

A. 8.                B. 9                  C. 17.                                      D. 16.

Hướng dẫn

Phương trình sóng tổng quát tổng hợp tại M là:

u_M = 2cos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\))cos(20πt - π\(\frac{d_{2}+d_{1}}{\lambda }\))

Với d₁ + d₂ = S₁S₂ = 9λ  

Khi đó: Phương trình sóng tổng quát tổng hợp tại M là:

u_M = 2cos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\))cos(20πt - 9π) = 2cos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\))cos(20πt - π) = - 2cos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\))cos(20πt)

Vậy sóng tại M ngược pha với nguồn khi cos(π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\)) = 1 <=> π\(\frac{d_{2}-d_{1}}{\lambda }\) = k2π Û d₁ - d₂ = 2kλ

Với - S₁S₂ ≤ d₁ - d₂ ≤ S₁S₂ <=> -9λ ≤ 2kλ  ≤ 9λ <=> 4,5 ≤ k  _≤ 4,5

Suy ra k = 0; ±1, ±2; ±3; ±4. Có 9 giá trị (có 9 cực đại)       

Chọn đáp án B

Câu 5: Trên mặt nước có hai nguồn kết hợp AB cách nhau một đoạn 12cm đang dao động vuông góc với mặt nước  tạo ra sóng với bước song 1,6cm. Gọi C là một điểm trên mặt nước  cách đều hai nguồn và cách trung điểm O của đoạn AB một khoản 8cm. Hỏi trên đoạn CO, số điểm dao động ngược pha với nguồn là:

                    A. 2                              B. 3                              C. 4                         D. 5

Hướng dẫn

Do hai nguồn dao động cùng pha nên để đơn giản ta cho pha ban đầu của chúng bằng 0. Độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng:

\(\Delta \varphi =\frac{2\pi d}{\lambda }\). Xét điểm M nằm trên đường trung trực của AB cách A một đoạn d₁ và cách B một đoạn d₂. Suy ra d₁=d₂. Mặt khác  điểm M dao động ngược pha với nguồn nên

\(\Delta \varphi =\frac{2\pi d_{1}}{\lambda }=(2k+1)\pi\) Hay : \(d_{1}=(2k+1)\frac{\lambda }{2}=(2k+1)\frac{1,6}{2}=(2k+1).0,8(1)\)

. Theo hình vẽ ta thấy  \(AO \leq d_{1} \leq AC\) (2). Thay (1) vào (2) ta có :

\(\frac{AB}{2}\leq (2k+1)0,8\leq \sqrt{(\frac{AB}{2})^{2}+OC^{2}}\) (Do \(AO=\frac{AB}{2}\) và \(AC=\sqrt{(\frac{AB}{2})^{2}+OC^{2}}\) )

Tương đương: \(6\leq (2k+1)0,8\leq 10\Rightarrow 3,25\leq k\leq 5,75\Rightarrow k=4;k=5\)  Kết luận trên đoạn CO có 2 điểm dao dộng ngược pha với nguồn.

Câu 6: Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau 40cm dao động cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số f=10(Hz), vận tốc truyền sóng 2(m/s). Gọi M là một điểm  nằm trên đường vuông góc với AB tại đó A dao đông với biên độ cực đại. Đoạn AM có giá trị lớn nhất là :

                 A. 20cm                      B. 30cm                               C. 40cm                      D.50cm

Hướng dẫn:

Ta có  \(\lambda =\frac{v}{f}=\frac{200}{10}=20(cm)\). Do M là một cực đại giao thoa nên để  đoạn AM có giá trị lớn nhất thì M phải nằm trên vân cực đại bậc 1 như hình vẽ và thõa mãn : \(d_{2}-d_{1}=k\lambda =1.20=20(cm)\) (1).

( do lấy k=+1)

Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :\(AM=d_{2}=\sqrt{(AB)^{2}+(AM)^{2}}=\sqrt{40^{2}+{d_{1}}^{2}}\)

.Thay (2) vào (1) ta được:\(\sqrt{40^{2}+{d_{1}}^{2}-d_{1}}=20\Rightarrow d_{1}=30(cm)\)

  Đáp án B

Câu 7: Trên bề mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp AB cách nhau 100cm dao động cùng pha. Biết sóng do mỗi nguồn phát ra có tần số f=10(Hz), vận tốc truyền sóng 3(m/s). Gọi M là một điểm  nằm trên đường vuông góc với AB tại đó A dao đông với biên độ cực đại. Đoạn AM có giá trị nhỏ nhất là :

               A. 5,28cm                      B. 10,56cm                           C. 12cm                    D. 30cm

Hướng dẫn

Ta có \(\lambda =\frac{v}{f}=\frac{300}{10}=30(cm)\).  Số vân dao động với biên độ dao động cực đại trên đoạn AB  thõa mãn điều kiện :

\(-AB< d_{2}-d_{1}=k\lambda < AB\)                        .

Hay : \(\frac{-AB}{\lambda }< k< \frac{AB}{\lambda }\Leftrightarrow -\frac{100}{3}< k< \frac{100}{3}\Leftrightarrow -3,3< k< 3,3\)

Suy ra :\(k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\) . Vậy để đoạn AM có giá trị bé nhất thì

M phải nằm trên đường cực đại bậc 3 như hình vẽ và thõa mãn

 \(d_{2}-d_{1}=k\lambda =3.40=90(cm)\) (1) ( do lấy k=3)

Mặt khác, do tam giác AMB là tam giác vuông tại A nên ta có :

 \(AM=d_{2}=\sqrt{(AB)^{2}+(AM)^{2}}=\sqrt{100^{2}+{d_{1}}^{2}}\)

Thay (2) vào (1) ta được :    \(\sqrt{100^{2}+{d_{1}}^{2}}-d_{1}=90\Rightarrow d_{1}=10,56(cm)\)

Đáp án B

Câu 8: Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A, B cách nhau 40cm luôn dao động cùng pha, có bước sóng 6cm. Hai điểm CD nằm trên mặt nước mà ABCD là một hình chữ nhât, AD=30cm. Số điểm cực đại và đứng yên trên đoạn CD lần lượt là :

                        A. 5 và 6                     B. 7 và 6                     C. 13 và 12                  D. 11 và 10

Hướng dẫn:

Số điểm cực đại trên đoạn CD thoã mãn :\(d_{2}-d_{1}=k\lambda\) và \(AD-BD< d_{2}-d_{1} < AC-BC\)

Suy ra : \(AD-BD< k\lambda < AC-BC\) Hay : \(\frac{AD-BD}{\lambda }< k< \frac{ AC-BC}{\lambda }\). Hay :\(\frac{30-50}{6}< k< \frac{50-30}{6}\)

Giải ra : -3,3<k<3,3 Kết luận có 7 điểm cực đại trên CD.

Số điểm cực tiểu trên đoạn CD thoã mãn :\(d_{2}-d_{1}=(2k+1)\frac{\lambda }{2}\) và \(AD-BD< d_{2}-d_{1} < AC-BC\)

Suy ra :\(AD-BD< (2k+1)\frac{\lambda }{2}< AC-BC\)  Hay : \(\frac{2(AD-BD)}{\lambda }< 2k+1 < \frac{ 2(AC-BC)}{\lambda }\). Thay số : \(\frac{2(30-50)}{6}< 2k+1< \frac{2(50-30)}{6}\)

 Suy ra :  \(-6,67< 2k+1< 6,67\) Vậy : -3,8<k<2,835.

Kết luận có 6 điểm đứng yên.

Câu 9: ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồn kết hợp A và B cách nhau 20(cm) dao động theo phương thẳng đứng với phương trình \(U_{A}=2cos(40\pi t)(mm)\)  và \(U_{B}=2cos(40\pi t+\pi )(mm)\) . Biết tốc độ truyền sóng trên mặt chất lỏng là 30(cm/s). Xét hình vuông ABCD thuộc mặt chất lỏng. Số điểm dao động với biên độ cực đại trên đoạn BD là :

                  A. 17                               B. 18                               C. 19                               D. 20

Hướng dẫn:

 \(BD=\sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=20\sqrt{2}(cm)\)

Với  \(\omega =40\pi (rad/s)\Rightarrow T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{40\pi }=0,05(s)\)Vậy : \(\lambda =v.f=30.0,05=1,5cm\)

   \(d_{2}-d_{1}=(2k+1)\frac{\lambda }{2}\) và \(AD-BD< d_{2}-d_{1} < AC-BC\)(vì điểm  nên vế phải AC thành AB còn BC thành B.B=O)

Suy ra :\(AD-BD< (2k+1)\frac{\lambda }{2}< -AB\) Hay : \(\frac{2(AD-BD)}{\lambda }< 2k+1 < \frac{ 2AB}{\lambda }\) . Thay số :\(\frac{2(20-20\sqrt{2})}{1,5}< 2k+1< \frac{2.20}{1,5}\)

 Suy ra :\(-11,04< 2k+1< 26,67\)  Vậy : -6,02<k<12,83.

Kết luận có 19 điểm cực đại.

Câu 10: Hai nguồn sóng kết hợp giống hệt nhau được đặt cách nhau một khoảng cách x trên đường kính của một vòng tròn bán kính R (x < R) và đối xứng qua tâm của vòng tròn. Biết rằng mỗi nguồn đều phát

sóng có bước sóng λ và x = 6λ. Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là
                A. 26                             B. 24                               C. 22.                              D. 20.

Hướng dẫn:

  Xét điểm M trên AB  (AB = 2x = 12λ)   AM = d₁  BM = d₂

  d₁ – d₂ = kλ ;   d₁ + d₂ = 6λ ;   d₁ = (3 + 0,5k)λ

 0 ≤ d₁ = (3 + 0,5k)λ  ≤ 6λ - 6 ≤ k ≤ 6

Số điểm dao động cực đại trên AB  là 13 điểm kể cả hai nguồn A, B. Nhưng số đường cực đại cắt đường tròn chỉ có 11 vì vậy Số điểm dao động cực đại trên vòng tròn là 22.

Chọn đáp án C.

Câu 11: Giao thoa sóng nước với hai nguồn A, B giống hệt nhau có tần số 40Hz và cách nhau 10cm. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,6m/s. Xét đường thẳng By nằm trên mặt nước và vuông góc với AB. Điểm trên By dao động với biên độ cực đại gần B nhất là
            A. 10,6mm                    B. 11,2mm                    C. 12,4mm                         D. 14,5

Hướng dẫn:

1.  \(\frac{AB}{\lambda }\)= 6,7  Điểm cực đại trên AB gần B nhất có k = 6

Gọi I là điểm cực đại trên đường tròn gần AB nhất

Ta có: d_1I – d_2I = 18 cm vì d_1I = AB = 20cm

 d_2I = 2cm

Áp dụng tam giác vuông

x² + h² = 4(20 – x)² + h² = 400  Giải ra h = 19,97mm

2.  \(\frac{AB}{\lambda }\)= 6,7  Điểm cực đại trên AB gần B nhất có k = 6

Ta có: d_1I – d_2I = 9 cm (1)

Áp dụng tam giác vuông

d²₁ = d²₂ + 100 (2) 

Giải (1) và (2) d₂ = 10,6mm

Câu 12: Giao thoa sóng nước với hai nguồn A, B giống hệt nhau có tần số 40Hz và cách nhau 10cm. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,6m/s. Xét đường thẳng By nằm trên mặt nước và vuông góc với AB. Điểm trên By dao động với biên độ cực đại gần B nhất là:
          A. 10,6mm                    B. 11,2mm                    C. 12,4mm                    D. 14,5

Hướng dẫn:

Bước sóng λ = v/f = 0,015m = 1,5 cm

Xét điểm N trên AB dao động với biên độ cực đại AN = d’₁; BN = d’₂  (cm)

   d’₁ – d’₂ = kλ = 1,5k

   d’₁ + d’₂ = AB = 10 cm

  d’₁  = 5 + 0,75k

     0 ≤  d’₁ = 5 + 0,75k ≤ 10- 6  ≤ k ≤ 6

Điểm M đường thẳng By gần B nhất ứng với k = 6

Điểm M thuộc cực đại thứ 6

  d₁ – d₂ = 6λ = 9 cm  (1)

  d₁² – d₂² = AB² = 10² d₁ + d₂ = 100/9  (2)

Lấy (2) – (1)   2d₂ = 100/9 -9 = 19/9  d₂ = 19/18 = 1,0555 cm = 10,6 mm. 

Chọn đáp án A

Câu 13: Giao thoa sóng nước với hai nguồn giống hệt nhau A, B cách nhau 20cm có tần số 50Hz. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 1,5m/s. Trên mặt nước xét đường tròn tâm A, bán kính AB. Điểm trên đường tròn dao động với biên độ cực đại cách đường thẳng qua A, B một đoạn gần nhất là
         A. 18,67mm                   B. 17,96mm                     C. 19,97mm              D. 15,34mm

Hướng dẫn:

Bước sóng λ = v/f = 0,03m = 3 cm

Xét điểm N trên AB dao động với biên độ

cực đại AN = d’₁; BN = d’₂  (cm)

  d’₁ – d’₂ = kλ = 3k

   d’₁ + d’₂ = AB = 20 cm

  d’₁ = 10 +1,5k

         0≤ d’₁ = 10 +1,5k ≤ 20

 - 6  ≤ k ≤ 6

 Trên đường tròn có 26 điểm dao động với biên độ cực đại

Điểm gần đường thẳng AB nhất ứng với k = 6. Điểm M thuộc cực đại thứ 6

  d₁ – d₂ = 6λ = 18 cm; d₂ = d₁ – 18  = 20 – 18 = 2cm

Xét tam giác AMB; hạ MH = h vuông góc với AB. Đặt HB = x

  h²  =  d₁² – AH² = 20² – (20 – x)²

  h²  =  d₂² – BH² = 2² – x²

20² – (20 – x)² = 2² – x² => x = 0,1 cm = 1mm

 h = \(\sqrt{{d_{2}}^{2}-x^{2}}=\sqrt{20^{2}-1}=\sqrt{399}=19,97mm\).

 Chọn đáp án C

Câu 14. Tại một điểm trên mặt phẳng chất lỏng có một nguồn dao động tạo ra sóng ổn định trên mặt chất lỏng. Coi môi trường tuyệt đối đàn hồi. M và N là 2 điểm trên mặt chất lỏng, cách nguồn lần lượt là R₁ và R₂. Biết biên độ dao động của phần tử tại M gấp 4 lần tại N. Tỉ số \(\frac{R_{1}}{R_{2}}\) bằng

                A. 1/4                     B. 1/16                         C. 1/2                          D. 1/8

Hướng dẫn:

Năng lượng sóng cơ tỉ lệ với bình phương biên độ, tại một điểm trên mặt phẳng chất lỏng có một nguồn dao động tạo ra sóng ổn định trên mặt chất lỏng thì năng lượng sóng truyền đi sẽ được phân bố đều cho đường tròn (tâm tại nguồn sóng) Công suất từ nguồn truyền đến cho 1 đơn vị dài vòng tròn tâm O bán kính R là \(\frac{Eo}{2\pi R}\)

Suy ra  \(\frac{E_{M}}{E_{N}}=\frac{{A_{M}}^{2}}{{A_{N}}^{2}}=\frac{\frac{Eo}{2\pi R_{M}}}{\frac{Eo}{2\pi R_{N}}}=\frac{R_{N}}{R_{M}}=\frac{R_{2}}{R_{1}}\)

Vậy \(\frac{R_{2}}{R_{1}}=\frac{{A_{M}}^{2}}{{A_{N}}^{2}}=4^{2}=16\rightarrow \frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{1}{16}\)

Câu 15:  Công suất âm thanh cực đại của một máy nghe nhạc gia đình là 10W. Cho rằng cứ truyền trên khoảng cách 1m, năng lượng âm bị giảm 5% so với lần đầu do sự hấp thụ của môi trường truyền âm. Biết

I₀ = 10^-12W/m². Nếu mở to hết cỡ thì mức cường độ âm ở khoảng cách 6m là:

        A. 102 dB                           B. 107 dB                     C. 98 dB                 D. 89 dB

Hướng dẫn:

Cường độ âm phát đi từ nguồn điểm được xác định là: \(I=\frac{P}{S}=\frac{P}{4\pi d^{2}}\)

Năng lượng âm giảm nên công suất giảm theo quan hệ: P = E/t, cứ 1m thì giảm 5% hay \(\frac{Eo-E_{1}}{Eo}=0,05\Rightarrow \frac{E_{1}}{Eo}=0,95\Rightarrow \frac{E_{6}}{Eo}=(0,95)^{6}\Rightarrow P_{6}=P_{0}.(0,95)^{6}\)

Vậy mức cường độ âm tại vị trí cách nguồn âm 6m là: \(L=10log\frac{Po.(0,95)^{6}}{4\pi d^{2}.Io}=102dB\)